¿Un famoso teorema de Dirichlet afirma que infinitamente muchos números primos son de la forma: $\alpha n+\beta$, pero son hay infinitamente muchos de la forma: $\alpha ^n+\beta$, donde es $\beta$ y $\alpha$ son primo $\beta$? ¿o de la forma $\alpha!+\gamma$, donde $\gamma$ es impar?
Por mera curiosidad tiene esta pregunta viene, por lo tanto cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuestas
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Hay relativamente primos no trivial $\alpha$$\beta$,$\beta$, incluso, que el $\alpha^n +\beta$ no es primo si $n \ge 1$. Fácil, vamos a $\beta$ han expansión decimal que termina en $4$, y deje $\alpha>1$ han expansión decimal que termina en $1$.
Una forma más sutil de la clase de los ejemplos se ilustra por $625^n+4$. Para esto utilizamos la identidad algebraica $$x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$$ para demostrar compositeness.
Para el factorial pregunta, una condición necesaria para la primalidad si $\alpha \gt 1$$\gamma=\pm 1$. Por desgracia, no se sabe si existen infinitos números primos de la forma $n!\pm 1$.
user8269
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Los números de $n$ tal que $n! - 1$ es primo es http://oeis.org/A002982. La lista comienza, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790, 94550, 103040. Es de suponer que la lista es infinita, pero parece que nadie lo ha demostrado.
Los números de $n$ tal que $n! + 1$ es primo es http://oeis.org/A002981. La lista comienza, 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209. Como antes, es de suponer que la lista es infinita, pero parece que nadie lo ha demostrado.
Muchas referencias se dan en estas dos páginas web.
Jan Gorman
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842
Si está interesado si hay infinito número de primer de la forma $n!+1$ infinito n muchos, primero usar un ejemplo $n=2$ $n!+1=3$ es primer, para n = 3, $n!+1=7$ pero viene la pregunta quién puede calcular $n!$ n = 50 por ejemplo, por lo que es difícil decir si hay infinito número de primer de esta forma
