La función $(-1)^{-x}$

Question

Me aburría así que poner funciones en Wolfram Alpha. Y me puse algo que se parece a una función de pecado. Y además de eso, fue continua la parte real y parte imaginaria era una cos función. Podría ser obvio para la mayoría de ustedes pero es la educación de matemáticas sólo tengo de la escuela secundaria.

Gracias.

Answer 1

En primer lugar usted necesita para suponer que usted está trabajando dentro de los números complejos, lo que significa que asumimos $-1\in \mathbb C$ - de lo contrario, su expresión es simplemente no definido - y además suponemos que $x\in \mathbb{R}$.

Ahora podemos realizar algunas manipulaciones básicas en su expresión y obtener $$ (-1)^{-x}=\exp\{\log((-1)^{-x})\}=\exp\{x\log(-1)\} $$ La expresión $\log(-1)$ no está definido en $\mathbb R$, pero está muy en $\mathbb C$, estamos trabajando con el logaritmo complejo y está utilizando el valor del capital, obtenemos $$ \log(-1)=\log(1)+i\mathrm{arg}(1)=i\pi $$ Ahora vamos a poner todo de nuevo juntos y nos llevamos usando la fórmula de Euler para $x\in \mathbb R$ \begin{align} (-1)^{-x}=\exp\{\log((-1)^{-x})\}=&\exp\{-x\log(-1)\}\\ =&\exp\{-xi\pi\}\\ =&\cos(x\pi)-i\sin(\pi x) \end{align} Ahora usted puede trazar su función, descompuesto en un imaginario y real, y usted va a obtener la deseada $\sin(\cdot),\cos(\cdot)$ funciones, que se escalan en consecuencia. Que significa $$ \Re((-1)^{-x})=\cos(x\pi) \text{ y } \Im((-1)^{-x})=-\sin(\pi x) $$

Answer 2

Este ha sido preguntado varias veces ya, estoy demasiado aburrido para buscar duplicados.

En general, para $x,y \in \Bbb C$, se define el $x^y$$\Bbb e ^{y \ln x}$. Por supuesto, uno tiene que decir lo que el logaritmo natural significa para los números complejos. El procedimiento habitual es eliminar la mitad de la línea desde el plano complejo, con el fin de ser capaz de unambigously definir un "argumento". Bien, pero lo que la mitad de la línea de elegir? La mayoría de la gente elige para eliminar el subconjunto $\{ z \in \Bbb C \mid \Re z \le 0 \}$, lo que significa que con este convenio, uno no puede hablar de $\ln y$ real $y \le 0$. En particular, $(-1)^{-x}$ dejaría de tener sentido en virtud de este convenio.

Por supuesto, la otra mitad líneas puede ser eliminado, en cuyo caso uno podría ser capaz de definir la $(-1)^{-x}$ (lo que sería un número complejo, incluso para $x \in \Bbb R$!), pero este enfoque es menos común. Suponiendo que usted elija para ir de esta manera, se puede quitar la mitad de la línea de $\{ z \in \Bbb C \mid \Re z \ge 0 \}$ (siendo esta solo una posibilidad entre muchas otras), definir el argumento principal para ser $\arg z$ a ser el ángulo formado por el segmento de $0z$ $x$- eje (medido a partir de la $x$-eje counter-clockwisely) y, a continuación, defina $\ln z = \ln |z| + \Bbb i \arg z$. Queda claro que, con este convenio, $\ln (-1) = \ln 1 + \Bbb i \pi = \Bbb i \pi$, por lo que

$$(-1)^{-x} = \Bbb e^{-x \ln (-1)} = \Bbb e^{\pi \Bbb i (-x)} = \cos (-\pi x) + \Bbb i \sin (-\pi x) = \cos (\pi x) - \Bbb i \sin (\pi x)$$

por lo $\Re (-1)^{-x} = \cos (\pi x), \quad \Im (-1)^x = -\sin (\pi x)$, lo que explica la forma de las curvas en su parcela.

(He usado la fórmula de Euler $\Bbb e ^{\Bbb i x} = \cos x + \Bbb i \sin x$ y el hecho de que $\cos (-x) = \cos x$$\sin (-x) = \sin x$.)

Answer 3

Supongo que te estás preguntando por qué surge este patrón,

De identidad de Euler se deduce que $ (-1)^x = \cos(\pi x) + i\sin(\pi x) = \text{cis}(\pi x) $, que explica el comportamiento sinusoidal.

Así, $ (-1)^{-x} = \text{cis}(-\pi x) = e^{-i x} = \cos(\pi x) - i \sin(\pi x) $.

Cabe señalar, que realmente tiene que ver con la arbitraria, aunque conveniente, convenciones.

Answer 4

$(-1)^x=e^{x\cdot\ln(-1)}$. Hay ningún valor único de $\ln(-1)$, sin embargo si elegimos el valor principal del logaritmo, $\ln(-1)=i\pi$, que $(-1)^x=e^{ix\pi}=\cos(\pi x)+i\sin(\pi x)$. Se obtienen resultados extraños como $1^x=e^{2i\pi x}$ tomando $\ln(1)=2i\pi$, que se encuentra en otra rama. Se trata del Convenio que el rama que elegimos.