Una referencia de la misma se encuentra aquí:
Se recomienda para absorber esta unidimensional de la teoría en primer lugar, antes de proceder a 2-D.
$c)\; X = -y\, \partial_x+x\, \partial_y$
Descargo de responsabilidad. En nuestro (Látex) notas tenemos $f$ en lugar de $F$ ,
$(x_1,y_1)$ en lugar de $(\hat{x},\hat{y})$ , $\theta$ en lugar de $\varepsilon$ ,
$k$ en lugar de $j$ , y más. Yo no sustituir las notaciones porque mis ojos
son malos y se espera que el peligro de cometer errores es mayor que la ventaja de ser coherente con la pregunta.
Un ejemplo de la Continua Transformación en dos dimensiones es una Rotación sobre un ángulo $\theta$:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x_1 = \cos(\theta) . x - \sin(\theta) . y \\
y_1 = \sin(\theta) . x + \cos(\theta) . y
\end{array}
\right.
$$
Se podría preguntar cómo la rotación del sistema de coordenadas trabaja fuera de la
la función de estas variables. Con otras palabras, cómo la siguiente función
se expandió como una expansión en series de Taylor alrededor de la original $f(x,y)$:
$$
f_1(x,y) = f(x_1,y_1)
= f(\,\cos(\theta).x - \sin(\theta).y\, , \,
\sin(\theta).x + \cos(\theta).y\, )
$$
Definir otros (polares) variables $(r,\phi)$ como:
$$
x = r.\cos(\phi) \quad \mbox{y} \quad y = r.\el pecado(\phi)
$$
Para las variables transformadas:
$$
x_1 = r.\cos(\phi).\cos(\theta) - r.\el pecado(\phi).\el pecado(\theta) = r.\cos(\phi+\theta)
\\
y_1 = r.\cos(\phi).\el pecado(\theta) + r.\el pecado(\phi).\cos(\theta) = r.\el pecado(\phi+\theta)
$$
Vemos que $\phi$ es una variable canónica. Otra función $g(\phi)$ se define con este canónica de la variable independiente uno:
$$
g(\phi) = f(\,r.\cos(\phi)\, ,\,r.\el pecado(\phi)\,) = f(x,y)
$$
Ahora rotación $f(x,y)$ a través de un ángulo de $\theta$ se corresponde con una traducción de
$g(\phi)$ sobre una distancia $\theta$. Por lo tanto, $g(\phi+\theta)$ puede ser desarrollado
en una serie de Taylor alrededor del punto de salida:
$$
g(\phi+\theta) = g(\phi) + \theta.\frac{dg(\phi)}{d\phi}
+ \frac{1}{2} \theta^2.\frac{d^2 g}{d\phi^2} + ...
$$
Trabajando de nuevo a las variables originales $(x,y)$ con una conocida regla de la cadena para
derivadas parciales:
$$
\frac{dg}{d\phi} = \frac{\partial g}{\partial x}\frac{dx}{d\phi}
+ \frac{\partial g}{\partial y}\frac{dy}{d\phi}
$$
Donde:
$$
\frac{dx}{d\phi} = - r.\el pecado(\phi) = - y
\quad \mbox{y} \quad
\frac{dy}{d\phi} = + r.\cos(\phi) = + x
\quad \Longrightarrow
\\
\frac{dg}{d\phi} = \frac{\partial g}{\partial x}.(-y) + \frac{\partial g}{\partial y}.(+x)
\quad \Longrightarrow \quad
\frac{d}{d\phi} = x.\frac{\partial}{\partial y} - y.\frac{\partial}{\partial x}
$$
Aquí nos encontramos con que $X = (x.\frac{\partial}{\partial y} - y.\frac{\partial}{\partial x})$ es el infinitesimal operador para el Plano de Rotación.
Es igual a la diferenciación con respecto a la variable canónica, como se esperaba. El resultado final es:
$$
f_1(x,y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}
\left[ \theta \left(x.\frac{\partial}{\partial y} - y.\frac{\partial}{\partial x}\right) \right]^k f(x,y)
= e^{ \theta (x\, \partial / \partial y - y\, \partial / \partial x) } f(x,y)
$$
Esto es cierto para cualquier función de $f(x,y)$. En particular, el independiente
las variables pueden ser concebidos como tales funciones. Lo que significa que:
$$
x_1 = e^{ \theta (x\, \partial / \partial y - y\, \partial / \partial x) } x \quad \mbox{y} \quad
y_1 = e^{ \theta (x\, \partial / \partial y - y\, \partial / \partial x) } y
$$
Es fácil comprobar que:
$$
(x\frac{\partial}{\partial y} y\frac{\partial}{\partial x}) x = - y
\quad \mbox{y} \quad (x\frac{\partial}{\partial y} y\frac{\partial}{\partial x}) y = x
$$
Aquí nos encontramos con:
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \theta (x.\frac{\partial}{\partial y} - y.\frac{\partial}{\partial x}) \right]^k x = 1
- \theta.y - \frac{1}{2} \theta^2.x + \frac{1}{3!} \theta^3.y
+ \frac{1}{4!} \theta^4.x + ...
\\
= \cos(\theta).x - \sin(\theta).y = x_1
$$
Del mismo modo podemos encontrar:
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \left[ \theta (x.\frac{\partial}{\partial y} - y.\frac{\partial}{\partial x} ) \right]^k y = 1
+ \theta.x - \frac{1}{2} \theta^2.y - \frac{1}{3!} \theta^3.x
+ \frac{1}{4!} \theta^4.y + ...
\\
= \sin(\theta).x + \cos(\theta).y = y_1
$$
Por lo tanto, de hecho, las fórmulas a distancia de forma infinitesimal de rotación a través de un finito
ángulo de $\theta$ puede ser reconstruido a partir de las expansiones.
$a)\; X = x\, \partial_x-y\, \partial_y$
Leer la 1-D de referencia. Tenemos los siguientes resultados:
$$
e^{ln(\lambda) \,x \frac{d}{dx}} f(x) = f(\lambda\,x)
$$
Donde $\lambda$ es positivo scaling factor. También tenemos:
$$
e^{-ln(\lambda) \,x \frac{d}{dx}} f(x) = e^{ln(1/\lambda) \,x \frac{d}{dx}} f(x) = f(x/\lambda)
$$
Estos resultados se traducen en 2-D de la siguiente manera:
$$
e^{ln(\lambda) \,x \frac{\partial}{\partial x}} f(x,y) = f(\lambda\,x,y) \\
e^{-ln(\lambda) \,y \frac{\partial}{\partial y}} f(x,y) = f(x,y/\lambda)
$$
Los dos exponentes son conmutativas, así que podemos escribir,
con $\;\ln(\lambda)=\mu\;\Longrightarrow\;\lambda=e^\mu=\exp(\mu)$ :
$$
e^{\mu(x\, \partial_x - y\, \partial_y)}\; f(x,y) = f\left(e^\mu x,e^{-\mu} y\right)
$$
En particular, con $\;X = x \frac{\partial}{\partial x} - y \frac{\partial}{\partial y}$ :
$$
\exp(\mu X) x = exp(\mu) x \quad \mbox{y} \quad \exp(\mu X) y = \exp(-\mu) y
$$
$b)\; X = x^2\,\partial_x+xy\,\partial_y$
Como para este caso, no veo cómo podemos decir más que, en el OP de la notación:
$$
F(\hat{x},\hat{y})=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{\varepsilon^j}{j!}X^j F(x,y) = \exp{(\varepsilon X)} F(x,y)
$$
Luego de ello se sigue que, para funciones especiales $F(x,y)=x$ o $F(x,y)=y$ :
$$
\hat{x}=\exp{(\varepsilon X)}x \\ \hat{y}=\exp{(\varepsilon X)}y
$$
Por favor, no me digas que eso es todo lo que quiero ..
