La relación numérica de la suma de dos series de divergencia

Question

Para estas dos series:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 +...$

$2 + 4 + 6 + 8 + 10 +...$

Para cada una de las dos series, ya que estos números progreso sin fin, y la suma de los aumentos, ciertamente no puede ser finito. Por este hecho se vuelve infinita. Por lo tanto, esta cantidad es tan grande que es mayor que cualquier cantidad finita. Por lo tanto creo que el dinero solo puede ser un "número infinito", que es mayor que la de cualquier finito o cantidad asignable. Por otra parte, cada término de la segunda serie es dos veces tan grande como el correspondiente término de la primera serie(de 1 a 2, y de 2 a 4, y de n a 2n), es razonable creer que el suma de la segunda serie es dos veces tan grande como el primero de la serie, es decir, se obtienen dos números infinitos y uno es dos veces tan grande como el otro.

entonces, ¿hay algo mal aquí?

Answer 1

No sé si estoy equivocado, pero no podía ' decimos simplemente

$$S_n = 1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$$ and $$P_n=2(1+2+3+...+n)=2\frac{n(n+1)}{2}$$.

Si nos fijamos en la relación entre $$q_n=\frac{S_n}{P_n}=\frac{1}{2}\frac{S_n}{S_n}=\frac{1}{2}$ $

¿Por lo tanto, no podríamos concluir? $$q = \lim_{n \to \infty}q_n=\frac{1}{2}$$

Así que parece bastante obvio que incluso para $n \to \infty$ se podría decir que la segunda serie es dos veces tan grande como la primera serie.

Answer 2

Lo que creo que está mal con su razonamiento es la percepción del infinito como un definibles cantidad (la frase "uno infinito es el doble de otro" supone dos diferentes infinitos ser definido cuantitativamente. Declaración equivalente sería que los dos infinitos son identificables como puntos específicos en el sistema de co-ordenadas en el espacio). Y que conduce a la confusión.

Aquí hay un par de declaraciones que le ayudará a poner las cosas en perspectiva -

1. Las dos series crecer indefinidamente y "perderse en las nubes". Los matemáticos son generalmente perezoso suficiente para evitar escribir esto en tantas palabras. Que idearon este bonito símbolo $\infty$ para este propósito.
2. La única comparaciones cuantitativas que tienen un significado implican cantidades mensurables, que por implicación, debe ser finito. Por lo tanto, el momento de empezar a pensar acerca de la palabra 'dos veces', no hay 'preocupante lo que está por encima de las nubes'.
3. Tenga en cuenta que a pesar de que las dos series son infinitas, están completamente definidos utilizando el conjunto de generador de definición: $$ S_1=\{x_n|x_{n+1}=x_n+1, x_1=1, n \in \Bbb N\} $$ $$ S_2=\{x_n|x_{n+1}=x_n+2, x_1=2, n \in \Bbb N\} $$ Esto es útil para darse cuenta de que a pesar de que no podemos hacer significativas las declaraciones acerca de la suma de todos los elementos en $S_1$ $S_2$ como cantidades mensurables, podemos sacar conclusiones acerca de su comportamiento basado en los patrones observados de la subida de las sumas parciales hasta el $t$'th plazo $$ S_{1,t}=\{x_n|x_{n+1}=x_n+1, x_1=1, n \in \Bbb N, n \le t\} $$ $$ S_{2,t}=\{x_n|x_{n+1}=x_n+2, x_1=2, n \in \Bbb N, n \le t\} $$ Es fácil ver que la suma de todos los elementos en $S_{1,t}$ $S_{2,t}$ son finitos, mientras $t$ es finito. Y por el uso de la inducción nos encontramos con que $$\sum S_{2,t} =2* \sum S_{1,t} , \forall t \in \Bbb N$$ que es significativa la comparación cuantitativa entre las dos series que le da un sentido de 'CÓMO estas dos series están encabezadas en las nubes".

Tenga en cuenta que definitiva conclusión que se puede extraer sobre el comportamiento de las dos series, incluso a pesar de que son infinitos debido a que su definición es la de captar plenamente capaces dado cualquier elemento de la serie y un conjunto bien definido de operaciones matemáticas que se pueden utilizar para generar otros elementos

La palabra 'dos veces', y la comparación cuantitativa implica, pertenece al dominio de sumas parciales (estos son finitos), y NO a la conveniencia llama $\infty$