La pregunta muestra que son rigurosamente pensar acerca de estos conceptos, lo cual es bueno. Tomemos un ejemplo sencillo que es similar en concepto a aquellas ecuaciones que hemos mencionado:
$$\sqrt x = -1$$
Porque es conveniente, un acuerdo general sobre la costumbre de matemáticas es para indicar que un director de la raíz cuadrada de un número por el $\sqrt{}$ símbolo. Para los números complejos, esto se define de la siguiente manera (ver wikipedia):
Deje $x=ze^{i\varphi}$ donde $\varphi$ es el principal ángulo de ( $\varphi\in(-\pi,\pi]$ ),$\sqrt x = \sqrt z e^{i \varphi/2}=\sqrt z [\cos \tfrac \varphi 2 + i\sin \tfrac \varphi 2]$.
A partir de esta definición, podemos ver que la parte real de la $\sqrt x$ debe ser positivo.
Por lo tanto la ecuación de $\sqrt x = -1$ no tiene solución en los números complejos, al $\sqrt {}$ se toma para ser el director de la raíz. Si quisiéramos definir un nuevo campo para que $\sqrt x = -1$ tiene una solución, decir $x=j$, entonces tenemos que ejecutar rápidamente en problemas, como el cuadrado ambos lados lleva a la conclusión de que $j=1$. Así, la nueva normativa tiene que ser creado en cuanto a cómo tratar la multiplicación de raíces cuadradas en nuestro nuevo sistema de numeración, y muy probable que tal sistema no terminan de ser coherente.
Además, dicha extensión no el rendimiento de la utilidad de un resultado como el de los números complejos, ya que nos encontramos con que $x=1$ es una solución si tenemos en cuenta los múltiples valores de la raíz cuadrada de la función en lugar de la plaza principal de la raíz.
Los números complejos se introdujeron con el fin de crear un campo en el que todas las ecuaciones algebraicas había soluciones. Un buen lugar para continuar su investigación sería en este hilo:
http://www.physicsforums.com/archive/index.php/t-315935.html
Un pequeño comentario acerca de por qué se me cayó de las $1=0$ enfoque: Ahora, aunque algunas de las ecuaciones que puede ser capaz de ser transformado a $1=0$, y por lo tanto la ecuación original era falso en el campo, esta no es una razón en sí misma para disuadir a uno de una extensión del sistema de numeración, como el complejo fueron a los reales. Esto me fue apuntado por Gerry Myerson en los comentarios de arriba. Para ver por qué, consideremos una situación en la que el único número que es el sistema de reales, como lo fue antes de los números complejos fueron introducidas. Ahora se puede escribir una ecuación como: $x^2+1=0$ y el uso de la lógica siguiente: $x^2>0 \implies x^2+1>1 \implies x^2+1\ne0$ y ahora, dividiendo nuestra ecuación original por $x^2+1$ es válida, ya que $x^2+1\ne0$, y por lo tanto, tenemos $1=0$.
Así que lo que hemos demostrado es que, en $\mathbb R$, $x^2+1=0$ no tiene solución, pero esto no impidió que la extensión de los reales a los números complejos y por lo que no debería servir como una razón para evitar una extensión basada en la ecuación de $\sqrt x = -1$. De manera similar a la forma en que los números complejos hecho de la desigualdad de $x^2>0$ no es cierto, nuestro nuevo número de sistema haría que la desigualdad de $\sqrt x > 0$ no es cierto.
