¿Qué es isomorfo a $\mathbb{Z}[x]/(x,x^2+1)$?

Question

Considerar el cociente del anillo de $\mathbb{Z}[x]/(x,x^2+1)$. Tomando el cociente por $(x)$ primer lugar, tenemos un anillo que es isomorfo a $\mathbb{Z}$ mediante el establecimiento de la relación $x=0$. La aplicación de la relación, $(x^2+1)$ hace $(1)$, por lo que el cociente del anillo es isomorfo a $\mathbb{Z}/(1)=\{0\}$.

Tomando el cociente por $(x^2+1)$ primer lugar, tenemos un anillo que es isomorfo a $\mathbb{Z}[i]$ mediante el establecimiento de la relación $x^2=1$ (o, equivalentemente, $x=i$). La aplicación de la relación, $(x)$ hace $(i)$, por lo que el cociente del anillo es isomorfo a $\mathbb{Z}[i]/(i)\approx\mathbb{Z}$.

El enfoque que, si bien, es correcto?

Answer 1

Su razonamiento es correcto hasta la última línea. $\mathbb{Z}[i]/(i) \cong \{0\}$, not $\mathbb{Z}$. De hecho, $(i)$ es la unidad ideal en $\mathbb{Z}[i]$, puesto que para cualquier $a\in \mathbb{Z}[i]$, $a = (-ai)i$.

Answer 2

También podría observar que $1=(x^2+1)-x(x)\in (x,x^2+1)$, que $(x,x^2+1)=\mathbb{Z}[x]$. Desde este punto de vista, el cociente es 0.