Conexión entre los sistemas bi-hamiltonianos y la integrabilidad completa

Question

Según tengo entendido, la falta de indicación sobre cómo obtener las primeras integrales en la teoría de Arnol'd-Liouville es una razón por la que estamos interesados en los sistemas bi-hamiltonianos.

Dos Paréntesis de Poisson $\{ \cdot,\cdot \} _{1} , \{ \cdot , \cdot \} _{2}$ en un colector $M$ son compatibles si su combinación lineal arbitraria $\lambda \{ \cdot , \cdot \} _1+\mu\{\cdot,\cdot\} _2$ es también un soporte de Poisson. Un sistema bi-hamiltoniano es aquel que permite formulaciones hamiltonianas con respecto a dos corchetes de Poisson compatibles. Posee automáticamente un número de integrales en involución.

La definición de una integrabilidad completa (à la Liouville-Arnol'd) es:

Flujos hamiltonianos y mapas de Poisson en un $2n$ -de la variedad simpléctica de las dimensiones $\left(M,\{ \cdot, \cdot \}_M\right)$ con $n$ funciones (suaves de valor real) $F _1,F _2,\dots,F _n$ tal que: (i) sean funcionalmente independientes (es decir, los gradientes $\nabla F _k$ son linealmente independientes en todas partes en $M$ ) y (ii) estas funciones están en involución (es decir $\{F _k,F _j\}=0$ ) se denominan completamente integrables.

Ahora, me gustaría entender las conexiones entre estas dos nociones, y como no he estudiado la teoría, cualquier respuesta sería útil. La lectura de documentos sobre estos temas me parece demasiado técnica en este momento. Las preguntas específicas que tengo en mente son

¿Permite siempre un sistema completamente integrable una estructura bi-hamiltoniana? ¿Son todos los sistemas bi-hamiltonianos completamente integrables? Si no es así, ¿cuáles son los ejemplos (o lugares donde encontrar ejemplos) de sistemas que poseen una propiedad pero no la otra?

Pido disculpas por cualquier error estúpido que haya podido cometer arriba. Siéntase libre de editar (etiquetado incluido).

Answer 1

Su comprensión es esencialmente correcto. Hay tres básicos (y estrechamente relacionados) se aproxima a la construcción de las integrales de movimiento necesarios para completar la integrabilidad: a través de la separación de variables, a través de la Laxa de la representación, y a través de la bi-Hamiltonianos representación. La relación entre ellos aún no se entiende completamente. Véase, sin embargo, este papel por M. Blaszak, que, en esencia, establece que cualquier Hamiltoniano del sistema que admite la separación de variables es (o, más bien, puede ser extendido a) bi-Hamiltonianos, y esta encuesta en papel por G. Falqui y M. Pedroni en la separación de variables para la bi-sistemas Hamiltonianos. En cuanto a la relación entre el Lax representación y bi-Hamiltoniana de la propiedad, vea este artículo de F. Magri y Y. Kosmann-Schwarzbach y las referencias allí contenidas. Ahora a sus preguntas.

Primero de todos, el bi-Hamiltonianos propiedad como estado, sin más restricciones, no conduce necesariamente a la integrabilidad, y la afirmación de que un bi-Hamiltoniano del sistema de forma automática posee algunas de las integrales de movimiento no se sostiene en todos los casos, por lo que yo sé. No puedo pensar en un ejemplo específico de ahora, pero, a grandes rasgos, si ambos Poisson estructuras son demasiado degenerados (su rango es demasiado baja), la recursividad se puede romper y que no van a tener suficiente de las integrales de movimiento. Un ejemplo de esto para el infinito-dimensional caso se puede encontrar en el papel Es un bi-Hamiltoniano del sistema necesariamente integrable? por B. A. Kupershmidt. Sin embargo, si se pone en algunos adicionales de no degeneración supuestos, la respuesta es sí, y se remonta a Magri, Morosi, Gelfand y Dorfman. Está muy bien resumida por ejemplo, en el Teorema 1.1 de este documento por R. G. Smirnov. La idea detrás de esto es que las integrales de movimiento son proporcionados por las huellas de los poderes de la relación de sus estructuras de Poisson.

En cuanto a la segunda pregunta, no cualquier Liouville integrable sistema bi-Hamiltonianos, al menos si se imponen algunas bastante razonable de los supuestos técnicos, consulte el documento Completamente integrable bi-Hamiltonianos de los sistemas de R. L. Fernandes; cf. también la de arriba Smirnov en papel.