Área de un triángulo con lados $\sqrt{x^2+y^2}$, $\sqrt{y^2+z^2}$, $\sqrt{z^2+x^2}$

Question

Lados de un triángulo ABC son $\sqrt{x^2+y^2}$, $\sqrt{y^2+z^2}$ y $\sqrt{z^2+x^2}$ donde x, y, z son los números reales distintos de cero, entonces el área del triángulo ABC es

(A)$\frac{1}{2}\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$

(B)$\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2)$

(C)$\frac{1}{2}(xy+yz+zx)$

(D)$\frac{1}{2}(x+y+z)\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Trató de aplicar la fórmula de Herón, pero los cálculos son muy sucios y simplificación es difícil. No pude pensar en cualquier otro método para encontrar esta área. Puede alguien ayudarme a solucionar este problema.

Answer 1

Hay tal un triángulo $\triangle\subset{\mathbb R}^3$ con vértices $${\bf 0}=(0,0,0), \quad{\bf a}:=(x,y,0), \quad {\bf b}:=(0,y,z)\ .$ $ $${\rm area\,}(\triangle)={1\over2}\bigl|{\bf a}\times{\bf b}\bigr|={1\over2}\sqrt{y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2}\ .$ $ da su área

Answer 2

sugerencia: que $a = \sqrt{x^2+y^2}, b = \sqrt{y^2+z^2}, c = \sqrt{z^2+x^2} \to a^2 = x^2+y^2, b^2 = y^2+z^2, c^2= z^2+x^2 $. Usar esto y ley de coseno para encontrar $\cos^2 A$, entonces el $\sin^2 A$ y $S^2 = \dfrac{b^2c^2\sin^2 A}{4}$, para encontrar $S^2$ y luego tomar la raíz cuadrada para volver $S$.

Answer 3

Use la regla del coseno para encontrar decir $\angle C$ luego usar fórmula del área de la siguiente manera

Area of $\triangle ABC$ $$=\frac{1}{2}(a)(b)\sin C=\frac{1}{2}(a)(b)\sqrt{1-(\cos C)^2}$$ $$=\frac{1}{2}(\sqrt{x^2+y^2})(\sqrt{y^2+z^2})\sqrt{1-\left(\frac{(\sqrt{x^2+y^2})^2+\sqrt{y^2+z^2})^2-(\sqrt{x^2+z^2})^2}{2\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{y^2+z^2}}\right)^2}$$ $$=\frac{1}{2}(\sqrt{x^2+y^2})(\sqrt{y^2+z^2})\sqrt{\frac{4(x^2+y^2)(y^2+z^2)-(x^2+y^2+y^2+z^2-x^2-z^2)^2}{4(x^2+y^2)(y^2+z^2)}}$$

$$=\frac{1}{2}\frac{(\sqrt{x^2+y^2})(\sqrt{y^2+z^2})}{2(\sqrt{x^2+y^2})(\sqrt{y^2+z^2})}\sqrt{4x^2y^2+4y^4+4z^2x^2+4y^2z^2-(2y^2)^2}$ $ $$=\frac{1}{4}\sqrt{4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)}$$ $$=\frac{1}{2}\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}$ $ (A) es correcta

Answer 4

De tal forma de las longitudes laterales, la más conveniente sería una variación de la fórmula de Herón para el área:

\begin{align} S&=\tfrac14\sqrt{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2} \\ S&=\tfrac14\sqrt{ 4(x^2+y^2)(y^2+z^2)- (x^2+y^2+y^2+z^2-z^2-x^2)^2 } \\ &=\tfrac14\sqrt{4(x^2+y^2)(y^2+z^2)-4y^4} \\ &=\tfrac12\sqrt{x^2 y^2+y^2 z^2+z^2 x^2}. \end {Alinee el}