Demuestra que $\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(2n)!}=0$

Question

Tengo que demostrar que $\lim \limits_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(2n)!}=0$

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No estoy seguro si es correcto pero lo hice así: $(2n)!=(2n)\cdot(2n-1)\cdot(2n-2)\cdot ...\cdot(2n-(n-1))\cdot (n!)$ por lo que tengo $$\displaystyle \frac{1}{(2n)\cdot(2n-1)\cdot(2n-2)\cdot ...\cdot(2n-(n-1))}$$ y $$\lim \limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{(2n)\cdot(2n-1)\cdot(2n-2)\cdot ...\cdot(2n-(n-1))}=0$$ ¿es esto correcto? Si no es así, ¿por qué?

Answer 1

Sugerencia

$$0\leq\frac{n!}{(2n)!}\leq\frac{1}{n}$$

Answer 2

Es correcto, pero imagino que se espera que muestre un poco más de trabajo para justificar su afirmación de que $$\lim \limits_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{(2n)\cdot(2n-1)\cdot(2n-2)\cdot ...\cdot(2n-(n-1))}=0$$ Una forma fácil de hacerlo es acotar esta secuencia de fracciones con otra más sencilla cuyo límite sabes que es 0.

Answer 3

Otra pista basada en el uso de series puede ser que, si la serie $$\sum_0^{\infty}u_n$$ es convergente por lo que $u_n\to 0$ .

Answer 4

Una pista:

$$ 0 \leq \lim_{n\to \infty}\frac{n!}{(2n)!} \leq \lim_{n\to \infty} \frac{n!}{(n!)^2} = \lim_{k \to \infty, k = n!}\frac{k}{k^2} = \lim_{k \to \infty}\frac{1}{k} = 0.$$

Answer 5

Si así se aborda la trivialidad de forma rigurosa sugiero utilizar la notación produtoria para fatorial utilizar la fórmula $n!=\prod_{k=1}^{n}$ . \begin{align} 0\leq \frac{n!}{(2n)!} = & \frac{\big(\prod_{k=1}^{n}k\big)}{\big(\prod_{k=1}^{2n}k\big)} \\ = & \frac{\big(\prod_{k=1}^{n}k\big)}{\big(\prod_{k=n+1}^{2n}k\big)\big(\prod_{k=1}^{n}k\big)} \\ = & \frac{1}{\big(\prod_{k=n+1}^{2n}k\big)}\frac{\big(\prod_{k=1}^{n}k\big)}{\big(\prod_{k=1}^{n}k\big)} \\ = & \frac{1}{\big(\prod_{k=n+1}^{k=2n}k\big)} \\ = & \frac{1}{2n\big(\prod_{k=n+1}^{2n-1}k\big)} \\ = & \frac{1}{2n}\frac{1}{\big(\prod_{k=n+1}^{2n-1}k\big)} \\ \leq & \frac{1}{2n} \end{align}