Cómo encontrar este límite $\lim_{x\to 1}\Gamma{(1-x)}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)$

Question

Encontrar este límite %#% $ #%

donde $$I=\lim_{x \to 1}\Gamma\left(1 - x\right)\cos\left({\pi \over 2}\,x\right)$ es http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

Mi idea: no $\Gamma{(x)}$, $u=1-x$ $ y no puedo, gracias

Answer 1

... Y $\sin(au)\sim au$ $\Gamma(u)=\Gamma(1+u)/u\sim\Gamma(1)/u$ por lo tanto $\Gamma(u)\sin(au)\to$ $____$.

Answer 2

Indirecta: $$\begin{align} \Gamma(1-x)\cos\left(\frac\pi2x\right) &=\frac{\Gamma(2-x)}{1-x}\sin\left(\frac\pi2(1-x)\right)\\[6pt] &=\Gamma(2-x)\frac{\sin\left(\frac\pi2(1-x)\right)}{1-x} \end {Alinee el} $$

Answer 3

Cada término del producto se puede desarrollar como una serie de Taylor en torno a $x=1$. Entonces obtienes, limitando los desarrollos de los primeros términos en $(1 - x)$,

$\Gamma(1 - x) = -\gamma + 1 / (1 - x)$

$\cos(\pi x / 2) = \pi(1 - x) / 2$

Por lo que el producto se convierte en

$\pi / 2 - \gamma \pi (1 - x) / 2$

Answer 4

Utilice la propiedad de reflexión de la función de gamma $$\Gamma (x) \Gamma (1-x)=\frac{\pi x}{\sin (\pi x)}$$ therefore the expression becomes $$\frac{\pi x \cos (\frac{\pi x}{2})}{\Gamma (x)\sin (\pi x)}$$ now substitute $$\sin (\pi x)=2\sin (\frac{\pi x}{2})\cos (\frac{\pi x}{2})$$ to get the limit as $\frac{\pi}{2}$