Demostrar

Question

Demostrar que $\lim_{x\to a} x^n = a^n$ % de los números naturales todos $n$y todos los números reales $a$.

Necesito demostrar esto mediante la definición de $\epsilon-\delta$. Me doy cuenta de que $0<|x-a|<\delta$ y que $|x^n-a^n|<\epsilon$ % todos $\epsilon>0$. Yo he incluido $\left|x^n-a^n\right|$, hecho menor o igual a $\left|\delta(x^{n-1}+...+a^{n-1})\right|$, pero estoy atrapado después de eso. ¿Algún consejo?

Answer 1

Debemos de seleccionar $\delta$ para que $|\delta(x^{n-1}+...+a^{n-1})|$el % es menor que $\epsilon>0$ % todos $0<|x-a|<\delta$. El primer paso es notar si $\delta$ posee un superior fijo limita, decir $1$, $0<|x-a|<\delta\implies |x|<|a|+\delta\leq|a|+1$, por lo tanto sabemos por triángulo desigualdad $$|x^{n-1}+...+a^{n-1})|\leq |x|^{n-1}+...+|a|^{n-1}$ $ que está delimitado por un % constante positivo fijo $M$. Para que el segundo paso es añadir más control a $\delta$, así %#% $ #%

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Ahora transformamos sobre el pensamiento en una prueba formal.

Dadas $$\delta|x^{n-1}+...+a^{n-1})|<\delta M<\epsilon$, elija $\varepsilon>0$

$\delta=\min\left(\dfrac{\varepsilon}{2n(|a|+1)^{n-1}},1\right)>0$, $\forall x, 0<|x-a|<\delta$, tenemos $$ \begin{align} \left|x^n-a^n\right|&=\left|\delta(x^{n-1}+\cdots+a^{n-1})\right|\\ &\leq \delta\left(|x|^{n-1}+\cdots+|a|^{n-1}\right)\\ &<\delta n(|a|+1)^{n-1}<\varepsilon \end{Alinee el} $$