Propiedad de 2016

Question

¿Cuál es el mínimo múltiplo de $2016$ cuya suma de dígitos es $2016$ ?

Estoy totalmente arruinado en esto. Lo único que sé es que el menor número de dígitos debe ser mayor que $224$ lo que claramente no es una pista práctica. La descomposición primaria puede dar alguna pista, pero no estoy seguro. Cualquier idea. Gracias de antemano.

Answer 1

Mirando los últimos tres dígitos, no vas a conseguir más que $24$ suma de dígitos a partir de ellos, como la mayor suma de dígitos que se puede obtener a partir de múltiplos de $8$ debajo de $1000$ está en $888$ . Así que necesitarás $225$ dígitos en total, lo que probablemente sea suficiente.

Empezaré por averiguar el valor de $10^{225} \bmod 2016$

$2016=2^5\cdot3^2\cdot7 = 32\cdot 63$

$\lambda(63)$ $= \text{lcm}(\lambda(3^2),\lambda(7)) = \text{lcm}(6,6) = 6 \implies 10^6 \equiv 1 \bmod 63$

$10^{225} \equiv 10^{222}\cdot 10^3 \equiv 10^3\equiv 55 \bmod 63$
$10^{225} \equiv 0 \bmod 32$ trivialmente

Ahora Teorema chino del resto dice que podemos encontrar un valor que sea $ 55 \bmod 63 $ y $0 \bmod 32$ - lo que se traduce en buscar un múltiplo de $32$ es decir $\equiv 55 \bmod 63$ .

$2\cdot 32 \equiv 1 \bmod 63 \implies (1+2(55-32))\cdot 32 \equiv 47\cdot 32$ es el múltiplo requerido, y por lo tanto $47\cdot 32 \equiv 1504 \equiv 10^{255} \bmod 2016$

El mayor múltiplo de $2016$ menos de $10^{225}$ es por lo tanto $10^{225}-1504 = \overbrace{9\ldots9}^{\text{221 9s}}8496$ que realmente tiene la suma de dígitos requerida. Así que ya tenemos un límite superior en el valor mínimo.

Como tenemos este ciclo de $6$ valores para $10^k\bmod 2016$ y $10^6 \equiv 1 \bmod 63$ $\implies$ $999999 \equiv 0 \bmod 63$ podemos insertar " $999999$ " en un valor más corto válido en cualquier punto claro de los últimos cinco dígitos (el factor de $2^5$ que se determina por esos últimos cinco dígitos). En concreto, podemos multiplicar los dígitos superiores por $10^6$ (que no cambia su valor $\bmod 63$ ) y luego añadir $999999\cdot 10^k$ que por supuesto es idivisible por $63$ .

Así, cuando encontramos el mínimo múltiplo en $9$ dígitos con una suma de dígitos de $72$ (que es $598989888$ ), podemos ampliarlo a $225$ dígitos mediante inserciones de $999999$ , manteniendo $5989$ como los dígitos de alto valor.

Esto nos da $598\overbrace{9\ldots9}^{\text{217 9s}}89888$ como el mínimo múltiplo de $2016$ con una suma de dígitos de $2016$ .

Answer 2

SUGERENCIA: La suma de los dígitos de $2016$ es $9$ - ¿se puede ver la manera de aprovechar este hecho para formar un múltiplo de $2016$ que tiene algunos dígitos iguales a $9$ ? Si puedes encontrar un múltiplo con muchos dígitos igual a $9$ entonces puede estar cerca de una respuesta. Si piensas en esto de la manera correcta, deberías encontrar una manera de obtener una cadena de dígitos igual a $9$ .