Álgebra lineal - Teorema de la dimensión.

Question

Supongamos que tenemos un espacio del vector $V$ y $U$, $W$ subspaces de $V$.

Estados del teorema de la dimensión: $$ \dim(U+W)=\dim U+ \dim W - \dim (U\cap W).$ $

Mi pregunta es:

¿Por qué es necesario en este teorema $U \cap W$?

Answer 1

$U \cap W$ es la intersección de los espacios vectoriales $U$$W$, es decir, el conjunto de todos los vectores del espacio de $V$ que se encuentran en ambos subespacios $U$$W$.

Como $U$ $W$ son ambos subespacios de $V$, su intersección $U \cap W$ es también un subespacio de $V$ (esta afirmación se puede constatar fácilmente). Debido a $U \cap W$ es un subespacio, es también un espacio vectorial en sí mismo, y como tal tiene una base. El número de elementos de esta base será el espacio de la dimensión, $\dim (U \cap W)$.

A grandes rasgos, se podría pensar que sumando $\dim(U)$ $\dim(W)$ rendimiento $\dim(U+W)$. Pero como $(U \cap W) \subset U$$(U \cap W) \subset W$, la suma de $\dim(U) + \dim(W)$ "cuenta" dos veces la dimensión de la $U \cap W$ - una vez en $\dim(U)$ y una vez más en $\dim(W)$. Para hacer que se suma a a $\dim(U+W)$ con precisión, tiene que restar de la dimensión de la $U \cap W$, por lo que es "contado" sólo una vez. De esta manera, obtenemos:

$$ \dim(U+W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W).$$

Tenga en cuenta que esto no es, por cualquier medio, una prueba formal. Es sólo una informal explicación de por qué se $U \cap W$ es necesario en esta fórmula.

Answer 2

Usted puede pensar en $A=\{a_1,...,a_n\}$, como base de la $U$ $B=\{b_1,...,b_m\}$ como una base de $V$, sabemos que la dimensión de un espacio vectorial es el número de elementos de alguna base. Si $b_1$ no es combinación lineal de los elementos de $A$$C_1=A \cup \{b_1$}. Si $b_p$ no es combinación lineal de los elementos de $C_{p-1}$, lo $C_p=C_{p-1}\cup\{b_p\}$. Deje $\ D=B -C_{p-1}$, ahora es fácil ver que $C_m$ es la base de la $\ U+V$ $D$ es la base de la $\ U\cap V$.

Este es un algoritmo para obtener el $U+V$$U\cap V$.

Sin perdida de generalidad, si $C_m=\{a_1,a_2,...,a_n,b_1,b_2,...,b_{m-k}\} \Rightarrow dim(U+V)=n+k$

por otro lado $dim(U)+dim(V)-dim(U\cap V)=n+m-(m-k)=n+k$

Answer 3

Tal vez usted está buscando para obtener una respuesta intuitiva.

La suma de $U+W$ de los subespacios $U$ $W$ es el menor subespacio de $V$ que contiene $U$$W$. Si $U$ $W$ no son tan independientes y, a continuación, $U+W$ está muy cerca de ambos subespacios. Esto sucede sólo cuando la intersección $U\cap W$ es grande. El caso extremo es cuando $U=W$. En este caso, $U+W,\ U\cap W,\ U$ $W$ somos todos iguales y tenemos: $$dim(U+W)=dim(U)=dim(W)=dim(U\cap W)$$ Por otro lado, en este caso: $$dim(U)+dim(W)=2dim(U+W)$$

Espero que esto le ayuda a entender por qué en la Dimensión Teorema para obtener el $dim(U+W)$ tenemos que restar $dim(U\cap W)$ a la suma de las dimensiones de ambos espacios.

Answer 4

Es la intersección de los subespacios: $$U\cap W = \{v\in V | v \in U \wedge v\in W \} .$ $