Demostrar que $2^n\alpha-[2^n\alpha]$ es denso en [0,1]

Question

Demostrar que $2^n\alpha-[2^n\alpha]$ es denso en $[0,1]$ si $\alpha$ es un número irracional positivo.
$[x]$ representa el mayor número entero menor que $x$ .
Sólo sé demostrar $n\alpha-[n\alpha]$ es denso en $[0,1]$ utilizando el principio del agujero de paloma.
Estoy buscando un método similar para resolver este problema.

Answer 1

La afirmación no es cierta.

Recordemos que un número es racional si y sólo si la representación decimal (en cualquier base) termina o se repite eventualmente.

Sea $0< \beta < 1 $ cualquier número irracional. Sea su representación en base 3 $0. b_1 b_2 b_3 \ldots$ . (Estoy usando base 3 para reducir la confusión con la última parte. Si quieres, puedes usar base 2 aquí).

En adelante, trabajaremos en base 2.

Construye el siguiente número irracional $\alpha$ (en base 2).
Empieza con 0,1,
a continuación, añada $b_1+1$ 0 y luego un 1,
a continuación, añada $b_2+1$ 0 y luego un 1,
a continuación, añada $b_3+1$ 0 y luego un 1, etc.
Por ejemplo, si $b_1 = 0, b_2 = 1, b_3 = 2, b_4 = 0, b_5=2 \ldots$ obtenemos el número $ \alpha = 0.1010010001010001\ldots$ .
Este número es irracional porque la representación binaria no termina ni se repite eventualmente (desde la construcción).

Alegación: La secuencia $2^n \alpha - \lfloor 2^n \alpha \rfloor $ no tiene $\frac{1}{2} = 0.1_2$ como punto límite.

Esto es obvio ya que nunca toma ningún valor en el rango $(0.\overline{01}_2, 0.\overline{1000}_2)$ que tiene una longitud de $\frac{1}{5}$ ¡! Asombroso, ¿eh?