Esta ecuación tiene por lo menos una raíz en $(0,1)$

Question

Que $ax^2+bx+c=0$ ser una ecuación cuadrática, donde $a,b,c\in\mathbb{R}$. Si $2a+3b+6c=0$, luego demostrar que esta ecuación tenga al menos una raíz en $(0,1)$.

Creo que implica de Teorema de Rolle o Teorema del valor medio de Lagrange, pero no más. ¡Por favor ayuda y sí, gracias de antemano!

Answer 1

Consejo: Otra manera, al lado de a @Berci comentario es considerar la función $$f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$% $I=(0,1) de $ on $.

Answer 2

Por Viète de $2a+3b+6c=0$ tenemos $x_1x_2 - \frac{1}{2}(x_1+x_2)+\frac{1}{3}=0$, donde $(x_1 - \frac{1}{2})(x_2 - \frac{1}{2})=-\frac{1}{12}$.

$|(x_1 - \frac{1}{2})(x_2 - \frac{1}{2})|\ge\frac{1}{4} $ Si las raíces son a (0,1).

Answer 3

Creo que finalmente lo conseguí.
Usando (como Babac sugerido) $$f(x)=\frac{1}{3}ax^3+\frac{1}{2}bx^2+cx$ $ ya que es continuo en $[0,1]$ y diferenciable en $(0,1)$, así que por el teorema de Lagrange
existe al menos un $c\in(0,1)$, que $$f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}$ $ esto da el resultado que necesitamos.