Las clases de Stiefel-Whitney de un producto cartesiano

Question

Ejercicio 4-A del libro de Milnor y Stasheff Clases de características lee:

Demuestre que las clases de Stiefel-Whitney de un producto cartesiano están dadas por $$w_k(\xi\times\eta) = \sum^k_{i=0} w_i(\xi)\times w_{k-i}(\eta)$$

Esto no tiene sentido para mí porque si $\xi\rightarrow B_1$ y $\eta\rightarrow B_2$ entonces $\xi\times\eta\rightarrow B_1\times B_2$ Así que $w_k(\xi\times\eta)\in H^k(B_1\times B_2;\mathbb{Z}_2)$ . Mientras que $w_i(\xi)\times w_{k-i}(\eta)=(w_i(\xi),w_{k-i}(\eta))\in H^i(B_1;\mathbb{Z}_2)\times H^{k-i}(B_2;\mathbb{Z}_2)$ .

Así que $w_k(\xi\times\eta)$ y $\sum^k_{i=0} w_i(\xi)\times w_{k-i}(\eta)$ se encuentran en conjuntos diferentes, así que ¿cómo se me puede pedir que demuestre que son iguales?

Answer 1

Creo que no has entendido el $\times$ símbolo aquí. Como han señalado otros, es el producto cruzado. Así que tienes $$ w_{k}(\epsilon\times \delta)=w_{k}(\pi_{1}^{*}(\epsilon)\oplus\pi_{2}^{*}(\delta)) $$ Por el axioma 4 de la página 38 tenemos $$ w_{k}(\pi_{1}^{*}(\epsilon)\oplus\pi_{2}^{*}(\delta))=\sum^{k}_{i=1}w_{i}(\pi_{1}^{*}(\epsilon))\cup w_{k-i}(\pi_{2}^{*}(\delta)) $$ Mientras que por la definición de producto cruzado tenemos $$a\times b=\pi_{1}^{*}(a)\cup \pi_{2}^{*}(b)$$ Esto demuestra la afirmación original. Aquí la definición de producto cruzado se desprende de Hatcher, página 218. Obsérvese que, como han señalado otros, el enunciado original es un mero replanteamiento del teorema de Kunneth con un anillo base que es un campo.