Teoría de los números, números primos

Question

demostrar que para todos los números primos $p>2000$ la suma $$1+2^{2000}+3^{2000}+...+(p-1)^{2000}$$ es divisible por $p$

Probé esto con primos más pequeños entonces $2000$ pero no encuentro una regla general.

Answer 1

Elige un número cualquiera que no sea cero $a$ tal que $a^{2000} \not \equiv 1 \pmod p$ (si no hay tal $a$ existe, entonces cada número de la suma es congruente con uno y, por tanto, la suma es divisible por $p$ ). Ahora bien, si multiplicamos todos los números $1 \ldots p-1$ por $a$ obtendremos alguna permutación de $1 \ldots p-1$ . Así que $(1^{2000} + \cdots + (p-1)^{2000}) \cdot a^{2000} = (1^{2000} + \cdots + (p-1)^{2000})$ . Desde $a^{2000} \not \equiv 1 \pmod p$ debemos tener $1^{2000} + \cdots + (p-1)^{2000} \equiv 0 \pmod p$ .

Alternativamente, puedes elegir cualquier raíz primitiva $g$ modulo $p$ y entonces la suma es igual a $g^{0} + g^{1 \cdot 2000} + g^{2\cdot 2000} + ... + g^{(p-2) \cdot 2000} = \frac{g^{2000(p-1)} - 1}{g^{2000}-1}$ que también es divisible por $p$ .

Answer 2

No necesitas $p>2000$ . Como sugiere alcabalas, argumentemos por inducción.

Demostremos que $S_{A}=\sum_{x\in{\frac{\mathbb Z}{p\mathbb Z}}} A(x)=0$ para cualquier polinomio entero $A$ por inducción en el grado $d$ de $A$ .

Si $d=0$ entonces $A$ es una constante $a\in{\mathbb Z}$ para que $S_A=pa=0$ .

Supongamos ahora que $d>0$ y que los resultados son válidos para todos los polinomios de grado $<d$ . Denotemos el coeficiente principal de $A$ por $a$ . Entonces $B(X)=A(X)-aX^d$ tiene grado $<d$ . El polinomio $C(X)=X^d-\frac{X^{d+1}-(X-1)^{d+1}}{d+1}$ tiene grado $<d$ también, y

$$S_A=\sum_{k=1}^{p} A(k)=\sum_{k=1}^{p} ak^d+B(k)= \sum_{k=1}^{p} a\bigg(\frac{k^{d+1}-(k-1)^{d+1}}{d+1}+C(k)\bigg)+B(k)= a(p^{d+1}-0^{d+1})+\sum_{k=1}^{p} aC(k)+B(k)=0$$

por la hipótesis de inducción aplicada a $aC+B$ (cuyo grado es $<d$ ). Con esto concluye la prueba.