División justa de un octágono

Question

Una tierra de la parcela pertenece a dos socios. Su forma es un octágono regular con un área de 1.

Quieren dividir de tal manera que uno obtiene área de $p$ y se obtiene el área de $1-p$ donde $p \in (0,1)$ es una constante dada.

Una manera de hacerlo es simplemente para moverse de una línea recta sobre el octágono, digamos, de este a oeste. El área al este de la línea crece continuamente de 0 a 1, por lo tanto, por el teorema del valor intermedio se debe cruzar $p$ en algún momento.

El problema con esta división es que una de las parcelas puede ser demasiado estrecho, y completamente inútil. Así que por acuerdo de los socios en la siguiente condición:

Cada uno de la tierra de la parcela debe ser convexa y contienen un cuadrado con un área de al menos la mitad de la superficie de la tierra de la parcela.

I. e., uno de los socios debe obtener un cuadrado con área de al menos $p \over 2$, y el otro debe obtener un cuadrado con área de al menos $(1-p) \over 2$.

Es esto posible para todos los $p$?

Si la respuesta es no, no es posible si permitimos que la de la tierra, las parcelas para ser no-convexo?

Answer 1

No convexo solución

Con la intuición

Si ambas áreas a ser convexa, entonces la curva de la división debe ser una línea recta. Una línea recta de corte en el octágono paralela a uno de sus bordes es malo, ya que resulta en una muy estrecha parcela de pequeño $p$. Así que la intuición me dice que una línea cuya dirección es exactamente entre dos bordes adyacentes deben ser las mejores, en términos de área de un cuadrado frente a toda el área de la parcela. La situación para las pequeñas $p$ a continuación, se ve como sigue:

En este caso, la zona de la plaza, en relación con el conjunto del área amarilla, es

$$\frac{4 \, \sqrt{\sqrt{2} + 2} {\left(\sqrt{2} - 2\right)}}{4 \, \sqrt{\sqrt{2} + 2} {\left(\sqrt{2} - 2\right)} - {\left(3 \, \sqrt{2} + 10\right)} \sqrt{-\sqrt{2} + 2}} \aprox 0.28427 < \frac12$$

Así que no, no es convexo solución.

Límites sin intuición

No podría confiar en mi intuición. Usted también puede estar preocupado acerca de cómo orientar la plaza. Pero tal vez el siguiente gráco se puede convencer a usted:

El eje horizontal de la parcela que muestra el ángulo bajo el cual la línea se cruza en el octágono, que se mide en grados. En el centro hay la mitad de la solución representada por encima, mientras que aquellos posición en la que el valor de la función es cero corresponden a una línea paralela a uno de los bordes.

Lo que el eje vertical de las parcelas es el área de un cuadrado, dividido por el área de la totalidad de la trama. Que la plaza no está necesariamente contenida en la trama, sino que es el cuadrado circunscrito alrededor de la circunferencia inscrita de la parcela triangular. Cada plaza tiene una circunferencia inscrita, y el más grande de la circunferencia inscrita, el más grande de la plaza. Así, la plaza más grande que encaja en la trama tiene que tener una circunferencia inscrita no mayor que el de la trama en sí. Por lo tanto, el valor de la trazada es una cota superior para el valor de la proporción que podría obtener para el más grande de la guarnición de la plaza. Usted verá que todavía está muy por debajo de $\frac12$. De hecho, su valor óptimo es que la situación descrita anteriormente, y en ese caso el obligado estimado por esta circunferencia inscrita argumento es todavía sólo

$$44 \, \sqrt{2} - 8 \, \sqrt{82 \, \sqrt{2} + 116} + 60\approx0.382\lt0.5$$

No convexa solución

es posible si permitimos que la de la tierra, las parcelas para ser no-convexo?

Sí, así es. Puede barrer a través del octágono de la manera que usted describe, pero tiene un cuadrado de área $\frac p2$ sobresalen en la otra área. El barrido de la línea iba a ser elegido de manera que cubra $\frac p2$ del área del octágono, menos el de la plaza. Aquí está una ilustración de situaciones típicas que pueden ocurrir durante un barrido. Las plazas son siempre tan grande como el asociado no-plaza de las regiones de similar color, por lo que son la mitad tan grande como toda la trama obtenidos de esta manera.

Ahora usted puede mirar en las posiciones de las plazas, en función del parámetro $p$:

La línea roja es la posición de la línea divisoria. El naranja y el verde pares de líneas indican las posiciones de las plazas. Como se puede ver, estos nunca se superponen, por lo que no hay nunca un problema de las plazas de intersección. Y el rojo de la línea de división sólo divide el resto después de que las plazas ya estaban tomadas de distancia, por lo que no entre en conflicto con nada.

Eventos, donde las cosas cambian

Los puntos azules indican situaciones especiales, de izquierda a derecha:

1. La línea roja toca a la izquierda par de esquinas del octágono
2. El área amarilla rodea totalmente la plaza de los naranjos
3. La plaza de los naranjos no toque el borde izquierdo
4. El cuadrado verde comienza a tocar el borde derecho
5. El cuadrado verde sobresale más allá de la aguamarina de la zona
6. El verde de la línea roja toca el par adecuado de las esquinas del octágono

Las situaciones representada por encima de ilustrar los acuerdos entre estas situaciones especiales, pero sólo para la primera mitad del espectro.

El correspondiente $p$ valores donde se producen estos eventos son

\begin{align*} p_1&= -\frac{1}{8} \, \sqrt{2} {\left(\sqrt{2} \sqrt{2 \, \sqrt{2} - 1} - \sqrt{2} - 2\right)} \approx 0.2655 \\ p_2&= \frac{1}{16} \, \sqrt{2} {\left(\sqrt{2} \sqrt{2 \, \sqrt{2} - 1} + 3 \, \sqrt{2} - 2\right)} \approx 0.3672 \\ p_3&= \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \approx 0.4142 \\ p_4&= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \approx 0.5858 \\ p_5&= -\frac{1}{16} \, \sqrt{2} {\left(\sqrt{2} \sqrt{2 \, \sqrt{2} - 1} - 5 \, \sqrt{2} - 2\right)} \approx 0.6328 \\ p_6&= \frac{1}{8} \, \sqrt{2} {\left(\sqrt{2} \sqrt{2 \, \sqrt{2} - 1} + 3 \, \sqrt{2} - 2\right)} \approx 0.7345 \end{align*}

He simbólico fórmulas que calcular la posición de la línea de barrido y así sucesivamente, una fórmula para cada pieza delimitado por tales eventos. Pero algunas fórmulas son bastante grandes, así que no voy a pegar aquí.