prueba de convergencia y cálculo de suma de una serie

Question

Para tener esta serie:

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+15n+9}{n^4+6n^3+9n^2}$$

Me di cuenta:

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}(\frac{3n^2+15n+9}{n^2+6n+9})$$

¿Así que puedo decir que es convergente ya o debo usar un criterio en la segunda fracción en la suma?

También podría utilizar fracciones parciales para suma o equivoco?

Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Se puede concluir que la serie converge por el test de comparación. También podemos calcular la suma. Tenga en cuenta que $$ \frac {3n ^ {2} + 15n + 9} {n ^ {4} + 6n ^ {3} + 9n ^ {2}} = \frac {1} {n ^ {2}} + \frac {1} {n} - \frac {1} {n + 3} - \frac {1} {\left (n + 3\right) ^ {2}} $$ hence $$\sum_{n\geq1}\frac{3n^{2}+15n+9}{n^{4}+6n^{3}+9n^{2}}=\sum_{n\geq1}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}-\frac{1}{\left(n+3\right)^{2}}\right)$$ $$=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{9} = \frac{115}{36} $$ porque la serie de telescopios.

Answer 2

Tener en cuenta

\begin{align} a_n=\frac{3n^2+15n+9}{n^4+6n^3+9n^2} &\le \frac{3n^2+15n^2+9n^2}{n^2(n+3)^2} \\ &= \frac{27}{(n+3)^2}\\ &\le \frac{27}{n^2} = b_n \end {Alinee el}

Es bueno saber que

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$

converge. Desde $0\le a_n\le b_n$ y $\sum b_n$ convergen, podemos concluir que el $\sum a_n$ converge.