Hemos aprendido que $z=re^{i\theta}$ de Euler.
Y es fácil ver que $|z|^2=r^2$, desde $re^{i\theta}\times re^{-i\theta}=r^2$.
¿Por qué debemos utilizar e para representar estos números correctamente? Parece que arbitrariamente podía elegir una diferente exponente $z=r\pi^{i\theta}$ y obtener el mismo tamaño para $z$ como lo hice antes: $|z|^2=r\pi^{i\theta}\times r\pi^{-i\theta}=r^2$
¿Qué me perdí?
Si queremos expresar $\pi^{i\theta}$ como una serie, entonces tenemos:
$$\pi^{i\theta} = e^{i\ln(\pi)\theta} = \sum_{n=0}^\infty i^n \frac{(\ln(\pi)\theta)^n}{n!} = \cos(\ln(\pi)\theta)+i\sin(\ln(\pi)\theta).$$
Calcular con precisión $\ln(N)$ $N \in \mathbb{N}$ puede ser difícil, por no hablar de $\ln(\pi)$. Esto sería añadir más complicaciones que valdría la pena. Por otra parte, $\pi^{i\theta}$ periodo $2\pi/\ln(\pi)$, que no es compatible con coordenadas polares.
Por otro lado, ya podemos escribir $$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i \sin(\theta),$$ we can express $e^{i\theta}$ mediante el cálculo de los ya bien conocidos funciones trigonométricas.
Me gustaría añadir que el uso de $e^{i\theta}$ es debido a la representación agradable encontrado por Euler. Si usted fuera a acercarse a la representación polar por primera vez, se acercaría más como este:
Deje $z=x+iy$ ser un número complejo, que se puede visualizar como un vector en $\mathbb{R}^2$, $z=(x,y)$. La magnitud de $z$$\|z\|= \sqrt{x^2+y^2}$. Podemos escribir la parte real como $x=\|z\| \cos(\theta)$ donde $\theta$ es el ángulo formado entre el eje real y el vector en el origen. Del mismo modo $y=\|z\| \sin(\theta)$. Por lo tanto $$z= \|z\|\cos(\theta)+i \|z\|\sin(\theta) = \|z\|(\cos(\theta)+i\sin(\theta)).$$
Hasta ahora, nuestro razonamiento fue completamente geométrica. Independientemente de que podemos encontrar la expresión, debido a Euler, $e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$. Este ahora, naturalmente, conduce a $$z=\|z\|e^{i\theta}.$$ If it turned out that $\pi^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta)$ entonces podemos utilizar en su lugar. Sin embargo, sabemos que este no es el caso.
También me gustaría señalar que no es una intuitiva razón para pensar que $e^{i\theta}$ debe ser de la forma $\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.
Observe que si escribimos $f(\theta) = e^{i\theta} = u(\theta)+iv(\theta)$, $$f''(\theta) = i^2 f(\theta) = - f(\theta).$$
Por lo tanto $$u''(\theta) = -u(\theta) \text{ and } v''(\theta) = - v(\theta).$$
Así, a partir de las ecuaciones diferenciales, podemos expresar $u$ $v$ como una combinación lineal de $\sin(\theta)$$\cos(\theta)$.
Esto motiva a la investigación de la serie de la función exponencial. Desde esta perspectiva, no es sorprendente descubrir $\cos(\theta)$ $\sin(\theta)$ dentro de la serie de $e^{i\theta}$.
Una edición final: Si dejamos $A$ $B$ ser números complejos, entonces mi afirmación anterior puede ser expresado como: $$e^{i\theta} = A\cos(\theta)+B\sin(\theta)$$
Establecimiento $\theta=0$ vemos que $e^{0}=1=A\cdot 1 = A$. Y $\theta = \pi/2$ rendimientos $e^{i\pi/2} = B$.
Por lo tanto, $$e^{i\theta} = \cos(\theta) + e^{i\pi/2} \sin(\theta).$$ What is left is to determine $e^{i\pi/2}$. Since $e^{i\theta}$ is $2\pi$ periodic, $e^{0}=e^{i2\pi}$. Thus we can see that $(e^{i\pi/2})^4 -1 = 0$, which means $e^{i\pi/2}$ satisfies the polynomial $x^4-1=0$. Thus $e^{i\pi/2} = \pm 1 \text{ o } \pm i$.
Tomando la derivada de ambos lados de $e^{i\theta} = \cos(\theta) + e^{i\pi/2} \sin(\theta)$ encontramos: $$ie^{i\theta} = -\sin(\theta) + e^{i\pi/2} \cos(\theta)$$ and therefore by setting $\theta = 0$ we have: $$i = e^{i\pi/2}.$$ Thus we conclude $$e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\sin(\theta).$$ Todos sin series de Taylor.
Hay una buena fórmula para $e^x$ y $e^x$:
$$e^x=1+x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}6+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+...$$
Si calculas $e^{0.1},e^{0.01}$, puedes ver que los dos primeros términos son correctos.
Así $$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^2}2+\frac{(ix)^3}6+...\\=(1-\frac{x^2}2+\frac{x^2}{24}+....)+i(x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}-...)$ $
Ahora, en radianes, $$ \cos x = \sin 1-\frac{x^2}2+\frac{x^4}{24}...\\ x = x-\frac{x^3}6+\frac{x^5}{120}...$$ puede comprobarlos valores pequeños de $x$ así. Así la serie $e^{ix}$ y la serie $\sin$ y $\cos$ partido (al menos para pequeñas $x$).
Si haces el cálculo, usted puede encontrar coinciden con todo el camino.
Creo que la respuesta es una cuestión de estética. En primer lugar, usted tiene que hacer algunas suposiciones, el más importante de los cuales es el siguiente:
$$ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) $$
Usted puede "justificar" a través de una serie de Maclaurin de expansión de $e^x$, $\sin(x)$ , y $\cos(x)$. Pero lo que realmente plantea la pregunta: ¿usted realmente necesita para demostrar que $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ de la base de concreto de $e$ $e$ solo o, por el contrario, que el $\frac{d}{dx}\log_e(x) = \frac{1}{x}$ (la derivada de $\ln(x)$) logaritmo con base $e$--usted necesita para probar uno en su propia debido a que el uso de uno para demostrar que el otro es circular! En mi opinión, esta prueba-que $\frac{d}{dx}e^x = e^x$ o $\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}$ - es la única respuesta verdadera a la pregunta debido a que la prueba y que la prueba solo hecho explica qué es tan especial sobre el valor de $e$.
Voy a suponer que ahora estamos de acuerdo en que $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$. Un equipo no importa si usted prefiere la base de $\pi$ ( $\pi^{i\theta} = \cos(\ln(\pi)\theta) + i\sin(\ln(\pi)\theta)$ . Sin embargo, si se elige como base para nuestros números complejos, entonces ya no estamos en el buen trigonométricas propiedades.
Específicamente, vamos a decir que tenemos $z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}$. Si utilizamos la formulación original de $z = e^{i\theta}$, entonces reconocemos inmediatamente (si somos buenos en trigonometría) que $\theta = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$. Por otro lado, ¿qué es $\theta$ si preferimos $\pi^{i\theta}$? No está claro cuál es el valor-de hecho básicamente, tenemos que volver a la ingeniería del valor, porque sabemos lo siguiente:
\begin{align} z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} =&\ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ =&\ \cos\left(\ln(\pi)x\right) + i\sin\left(\ln(\pi)x\right) \end{align}
Lo que conduce a:
$$ x = \frac{\pi}{4\ln(\pi} \approx 0.68609911657 $$
Este valor no tiene ningún sentido geométrico, pero no es menos correcto matemáticamente. El valor aproximado de $0.68609911657$ rad es $\approx 0.21\pi$. Ahora, si yo sé que esto es una mala base, entonces puedo tomar ese valor y multiplicar por $\ln(\pi)$: $0.68609911657 * \ln(\pi) \approx 0.78539816339$ $\approx 0.24999999999 \pi$ (que es claramente $\frac{\pi}{4}$).
Con la inicial de la representación puedo encontrar rápidamente dónde colocar mis coordenadas en un plano complejo donde $x$ es de los valores reales y $y$ son los valores imaginarios usando coordenadas polares. Puedo "rápidamente" hacer lo mismo con $\pi^{i\theta}$ pero requiere de algunos pasos intermedios para convertir a la "agradable" de la representación (que es $e^{i\theta}$). Si, el uso de coordenadas polares, necesito a "convertir" $\pi^{i\theta}$, entonces tiene más sentido para elegir la "natural" de las coordenadas que se obtienen usando más bien $e^{i\theta}$--donde no es necesaria la conversión.
Y la razón me dicen que es por la estética, es porque no es como $e^{i\theta}$ hace todos los cálculos más fácil ... no es. Trate de encontrar a$r$$\theta$$z = 1 + 2i$:
\begin{align} 1 + 2i = r \cos(\ln(\pi)\theta) + ri\sin(\ln(\pi)\theta) \\ 1 + 2^2 = r^2 \rightarrow r = \sqrt{5} \\ \tan(\ln(\pi)\theta) = 2 \rightarrow \ln(\pi)\theta \approx 1.10714872 + 2\pi n\\ \theta \approx 0.96717027631 + \frac{2\pi n}{\ln(\pi)} \\ 1 + 2i \approx \sqrt{5}\pi^{\left(0.96717027631 + \frac{2\pi n}{\ln(\pi)}\right)i} \end{align}
vs
\begin{align} 1 + 2i = r \cos(\theta) + ri\sin(\theta) \\ 1 + 2^2 = r^2 \rightarrow r = \sqrt{5} \\ \tan(\theta) = 2 \rightarrow \theta \approx 1.10714872 + 2\pi n\\ 1 + 2i \approx \sqrt{5}e^{\left(1.10714872 + 2\pi n\right)i} \end{align}
La única diferencia en los cálculos anteriores es la división por $\ln(\pi)$ - y que es por eso que preferimos $e^{i\theta}$ sobre cualquier otra base, porque todos los otros que requieren de este "innecesaria", paso a paso, es más estético, pero no más matemáticamente correcta.
Y antes de decir, bueno, al menos el uso de $e^{i\theta}$ sabes inmediatamente que el trigonométricas del ángulo es aproximadamente $1.10714872$ radianes, yo diría que soy yo en realidad no familiarizado con lo que el ángulo representa, de hecho me necesita para convertir a grados para mostrar que $1.10714872 \approx 63.4349489493^\circ$ antes de que yo realmente "sabe" dónde reside el valor. Y puedo conseguir que el valor de la misma utilizando el $\pi^{i\theta}$ sólo requiere un adicional de multiplicar por $\ln(\pi)$: $\theta \approx 0.96717027631 * \ln(\pi) * \frac{180^\circ}{\pi} \approx 63.4349489492^\circ$.
Una vez que conocemos $e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$, la expansión de un número complejo en $re^{i\theta}$, entonces se convierte en algo natural. ¿Cuál es la idea detrás de la polar? Es expresar una compleja $z$ en términos de una magnitud y una dirección. ¿Qué entendemos por dirección? Bueno, en general una "dirección" es sólo un vector unitario. Utilizamos este término debido a que la multiplicación por "sólo una dirección" no se debe cambiar cualquier magnitudes. Esto nos dice que el vector unitario es una buena definición de "dirección". ¿Cómo podemos escribir de la unidad de vectores, entonces? Nos acaba de decir cómo! El círculo unitario es parametrizadas por $\cos\theta + i \sin\theta$. Ahora no tenemos elección. Debemos recoger $e$ e no $\pi$ como usted pregunta. La matemática se ha decidido por nosotros que $\cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}$, no $\pi^{i\theta}$. Una vez que se han asentado en cómo vamos a expresar las direcciones, ahora lo que hace nuestro polar de la forma de dictar la correspondiente magnitud debería ser? La polar magnitud de $z$ se $|z|$, lo conveniente!
Como se puede leer en la Wikipedia, la fórmula de Euler se encontró mediante la comparación de la serie de expansiones de la función exponencial $$ \exp(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $$ con los de las funciones trigonométricas $$ \cos(x)=\sum_{n=0}^\infty [n\textrm{ par}](-1)^{n/2}\,\frac{x^n}{n!} \quad\text{y}\quad \sin(x)=\sum_{n=0}^\infty [n\textrm{ impar}](-1)^{(n-1)/2}\,\frac{x^n}{n!} $$ La función exponencial dada por el anterior de la serie, que puede ser deducido a partir de la condición de que la función es su propia derivada y tiene término constante$~1$, puede ser (y, lamentablemente, por lo general es, porque es algo más compacto), escrito como $x\mapsto\mathrm e^x$ donde $\mathrm e\stackrel{\textrm{def}}=\exp(1)\approx2.718281828$. Pero es la exponencial de la función, no esta constante, que es de interés. La razón de que esto de la "base de la función exponencial" debe ser utilizado es similar a la razón por la que para las funciones trigonométricas de los ángulos debe ser medido en radianes; si uno no lo hace, la serie de extrañas pasan constantes en sus coeficientes.
La representación gráfica de los números complejos, y por lo tanto la conciencia de que la fórmula de Euler se puede interpretar como describir números complejos en coordenadas polares, es de fecha más reciente, y que era desconocido para Euler.
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