¿Qué es la regla de Ehrenfest-Oppenheimer sobre la estadística de los sistemas compuestos?

Question

Ehrenfest 1931 da un argumento en el sentido de que la aplicación del teorema de la espín-estadística a los sistemas compuestos es válida, pero sólo como una aproximación y bajo ciertas condiciones. Desgraciadamente, este artículo se encuentra detrás de un muro de pago. El resumen dice lo siguiente:

A partir del principio de exclusión de Pauli derivamos la regla para la simetría de las funciones de onda en las coordenadas del centro de gravedad de dos cúmulos estables similares de electrones y protones, y justificamos la suposición de que los cúmulos satisfacen la estadística de Einstein-Bose o de Fermi-Dirac según que el número de partículas en cada cúmulo sea par o impar. Se demuestra que la regla sólo deja de ser válida cuando la interacción entre los cúmulos es lo suficientemente grande como para perturbar su movimiento interno.

La extravagancia del resumen se ve reforzada por la misteriosa ausencia de mención de los neutrones, que se explica por el hecho de que el neutrón no se descubrió experimentalmente hasta el año siguiente. Es bastante divertido que la Sociedad Americana de Física siga teniendo los derechos de autor de un artículo tan antiguo, uno de cuyos autores fue probablemente pagado con los impuestos de mis abuelos y bisabuelos.

Buscando en Google aparecen rápidamente varias caracterizaciones verbales sueltas de este resultado, sin pruebas. ¿Puede alguien proporcionar un resumen de cómo funciona el argumento y posiblemente una declaración más precisa de lo que es realmente el resultado?

Algunas fuentes parecen referirse a esto como el resultado Wigner-Ehrenfest-Oppenheimer (WEO) o la regla Ehrenfest-Oppenheimer-Bethe (EOB). Históricamente, Feynman parece haber utilizado este resultado para demostrar que los pares de Cooper eran bosónicos.

Aunque he etiquetado esta cuestión como teoría cuántica de campos, y el teorema del espín-estadística es relativista, la fecha de 1931 parece indicar que esto habría sido un resultado en la mecánica cuántica no relativista. Esta respuesta de akhmeteli esboza lo que parece ser un resultado relativista similar de un libro de Lipkin.

En el límite de los experimentos de baja energía, la regla EO dice que se aplica la conexión habitual de espín-estadística, y esto parece extremadamente plausible. Si no fuera así, sería demasiado bueno para ser cierto: podríamos sondear la estructura compuesta de un sistema hasta energías arbitrariamente altas sin tener que construir aceleradores de partículas.

Bethe 1997 tiene el siguiente argumento:

Consideremos ahora los objetos compuestos fuertemente unidos, como los núcleos. Entonces tiene sentido preguntarse por la simetría de la función de onda de un sistema que contiene muchos objetos idénticos del mismo tipo, por ejemplo, muchos núcleos de He4. Esta simetría puede deducirse imaginando que el intercambio de dos compuestos se realiza partícula a partícula. Cada intercambio de fermiones cambia el signo de la función de onda. Por lo tanto, el compuesto será un fermión si y sólo si contiene un número impar de fermiones[...]

Nótese el calificativo "fuertemente ligado", que implica una restricción a los experimentos de baja energía. El resumen de Ehrenfest 1931 parece decir que esta es una suposición necesaria, pero nunca se utiliza en el argumento de Bethe y Jackiw, y esto sugiere que su argumento es una simplificación excesiva.

Fujita 2009 recapitula el argumento Bethe-Jackiw, pero luego dice:

Más adelante veremos que estos argumentos son incompletos. Observamos que Feynman utilizó estos argumentos para deducir que los pares de Cooper [5] (pairones) son bosónicos [6]. La simetría de la función de onda de muchas partículas y la estadística cuántica para las partículas elementales son uno a uno [1]. Pero no existe una correspondencia uno a uno para los compuestos, ya que los compuestos, por construcción, tienen grados de libertad adicionales. Las funciones de onda y los operadores de segunda cuantificación son importantes variables cuánticas auxiliares, pero no son observables en el sentido de Dirac [1]. Debemos examinar los números de ocupación observables para el estudio de la estadística cuántica de los compuestos. En el presente capítulo mostraremos que la regla de EOB se aplica al movimiento del Centro de Masa (CM) de los compuestos.

Desgraciadamente, sólo tengo acceso a Fujita por el ojo de la cerradura, así que no puedo ver cuáles son las referencias ni ninguno de los detalles que prometen en este avance de principio de capítulo.

Relacionado: Enorme confusión con los fermiones y bosones y su relación con el giro total del átomo

Bethe y Jackiw, Mecánica Cuántica Intermedia

P. Ehrenfest y J. R. Oppenheimer, "Note on the Statistics of Nuclei", Phys. Rev. 37 (1931) 333, http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.37.333 DOI: 10.1103/PhysRev.37.333

Fujita, Ito y Godoy, Quantum Theory of Conducting Matter: Superconductividad, 2009

Answer 1

Un usuario de SE tuvo la amabilidad de enviarme un PDF del documento, así que intentaré dar un resumen de lo que yo entiendo.

El contexto histórico es interesante. Esto fue antes de que se descubriera experimentalmente el neutrón, por lo que pensaban que los núcleos estaban hechos de protones y electrones. Lo que hoy describiríamos como un núcleo con número de masa $A$ y el número atómico $Z$ que describirían como un sistema compuesto por $m$ protones más $n$ electrones unidos dentro del núcleo, donde $m=A$ y $n=A-Z$ . (Estos $n$ electrones se suman a los $m$ electrones que están fuera del núcleo). Este modelo se equivoca en las estadísticas de un núcleo cuando $N$ es impar, y la discrepancia había aparecido en la espectroscopia de bandas rotacionales de moléculas diatómicas simétricas como $\text{N}_2$ .

Independientemente de si se utiliza el modelo arcaico del núcleo o uno moderno, se trata de dos especies de fermiones dentro del núcleo. Esto lleva a muchas complicaciones en la notación y las ecuaciones, lo que creo que no es realmente crucial para el contenido de lo que la gente describiría hoy como la regla de Ehrenfest-Oppenheimer. Creo que todas las cuestiones interesantes pueden verse cuando sólo hay una especie de fermión fundamental presente, así que esa versión simplificada es la que esbozaré aquí.

El argumento, si lo estoy entendiendo bien, parece ser el siguiente. Tienes dos sistemas compuestos idénticos, que si no interactuaran serían descritos por números cuánticos internos $\sigma$ y $\tau$ y los números cuánticos $s$ y $t$ describiendo sus movimientos del centro de masa. Bajo el intercambio de los miembros de las dos agrupaciones, la función de onda $|F\rangle=|st,\sigma\tau\rangle$ representándolos tiene que recoger una fase $\theta=(-1)^k$ . Podemos hacer tal función de onda a partir de un determinante de Slater. Entonces obtenemos de forma bastante trivial --

La regla Ehrenfest-Oppenheimer: Si los estados internos de las dos agrupaciones son iguales, $\sigma=\tau$ entonces bajo el intercambio de los centros de masa $s$ y $t$ la función de onda total recoge una fase $\theta$ .

Si ahora nos centramos en una interacción entre los dos cúmulos, la regla E-O ya no es exacta, y el objetivo del artículo es mostrar las condiciones en las que es una aproximación suficiente. La función de onda F ya no es un estado estacionario. Sin embargo, el conjunto de tales funciones de onda sigue representando una base completa, por lo que podemos escribir el estado físico real $|\phi\rangle$ como una superposición de las F. Esto mezcla los F, y la mezcla destruye la simetría bajo el intercambio de $s$ y $t$ . Sin embargo, la mezcla depende de elementos matriciales de la forma

$$ \langle st,\sigma\tau | H | s't',\sigma'\tau' \rangle $$

donde $\sigma\ne\sigma'$ , $\tau\ne\tau'$ es decir, los estados internos son diferentes. La mezcla resultante es entonces pequeña cuando la escala de energía de la interacción entre las dos agrupaciones es pequeña en comparación con las diferencias de energía $E_\sigma-E_{\sigma'}$ para $\sigma\ne\sigma'$ . Esta es, por ejemplo, una excelente aproximación para los núcleos de una molécula diatómica.