¿Generalizada para resolver la restricción $x_1 + x_2 + x_3 = c$ $x_1 > x_2 > x_3$?

Question

En mi ejemplo del examen final, se nos da el siguiente problema:

 How many ways can we pick seven balls of three colors red, blue, yellow given
 also that the number of red balls must be strictly greater than blue and
 blue strictly greater than yellow?

La solución que he usado (y se da) fue una fuerza bruta de contar. En particular, fijar el número de bolas rojas para $0, 1, \dots, 7$ y ver cómo muchos de los casos viables adquirir cada vez.

Sin embargo, yo quería probar y encontrar una forma inteligente de hacerlo, pero no podía. Hay una mejor manera general para hacer este problema cuando los números se hacen más grandes?

Si es posible, sería aún mejor si podemos resolver la siguiente forma más genérica:

$$x_1 + \dots + x_n = c, x_1 > \dots > x_n \geq 0$$

Answer 1

Para el caso $n = 3$, desde $x_2 > x_3 \geq 0 \Rightarrow x_2 \geq x_3+1 \Rightarrow x_2=x_3+1+r, r \geq 0$ y del mismo modo, $x_1 > x_2 \Rightarrow x_1 \geq x_2+1 \Rightarrow x_1=x_2+1+s = (x_3+1+r)+1+s = x_3+2+r+s$. Sustituyendo en la ecuación: $x_3+2+r+s + x_3 + 1 + r + x_3 = c \Rightarrow 3x_3+2r+s = c-3$. De esto podemos dividir en casos con $x_3 = 0, 1,2,...,\lfloor \frac{c-3}{3}\rfloor$. Esto se puede generalizar a $n$.