Derivados de funciones con valor absoluto

Question

Me di cuenta de que si se utiliza la definición de valor absoluto $\lvert{x}\rvert=\sqrt{x^2}$ entonces podemos conseguir derivados de funciones con valor absoluto, sin tener que redefinirlos como piece-wise.

Por ejemplo, para obtener el derivado de $f(x)=x\lvert{x}\rvert$ escribimos $f(x)=x(x^2)^\frac{1}{2}$ y $f'(x)=\sqrt{x^2}+x\frac{1}{2}(x^2)^{-\frac{1}{2}}(2x)=\sqrt{x^2}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2}}=\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}} =\frac{2x^2}{\lvert{x}\rvert}=2\lvert{x}\rvert $ que es corrigen.

Sólo tienes que evitar el uso de la ley de exponentes para simplificar $\lvert{x}\rvert = (x^2)^\frac{1}{2}=x^{2(\frac{1}{2})}=x$. Mi pregunta es ¿por qué hace usando $\lvert{x}\rvert=\sqrt{x^2}$ para obtener derivados del trabajo, y ¿por qué la ley de exponentes parece mostrar que $\lvert{x}\rvert=x$?

Answer 1

$\lvert x\rvert$ está parcialmente-función derivable, ya que la pieza sabio notación es más claro y natural. Mediante la expresión y la diferenciación como $\sqrt{x^2}$ introducir la $\sqrt x$ función que aún es no-diferenciable en el punto de $x=0$. Así, la escritura de la suave fórmulas analíticas que el trabajo para disfrazar el hecho de la no-diferenciable puntos de no introducir cualquier tipo de gran valor.

Si usted simplemente no les gusta piece-wise la notación de la forma, a continuación, siga el primer comentarista de la nota y el uso de $sgn (x)$ en representación $\lvert x\rvert'$$x\ne0$.