Pregunta sobre el Teorema de Convergencia Dominada.

Question

Cómo calcular $$\lim_{n \to \infty}\int_0^{\infty}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)^{-n}\sin\Big(\frac{x}{n}\Big) dx$$

Quiero utilizar el Teorema de Convergencia Dominada. por lo que se convierte en $$\int_0^{\infty}\lim_{n\to \infty}\Big(1+\frac{x}{n}\Big)^{\frac{n}{x}(-x)}\sin\Big(\frac{x}{n}\Big) dx=\int_0^{\infty}e^{-x}\times 0 dx=0$$

Tengo problemas para encontrar el término dominante, que es esencial para poder aplicar el teorema de convergencia dominante.

¿Alguien podría ayudarme con esto? Gracias.

Answer 1

Por la desigualdad de Bernoulli tenemos: $$ \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-n}\leq e^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)\tag{1}$$ y: $$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{+\infty}e^{-x}\left(1+\frac{x}{n}\right)\sin\frac{x}{n}\,dx &=& n \int_{0}^{+\infty}(1+x)\,\sin(x)\, e^{-nx}\,dx\\ &\leq& n\int_{0}^{+\infty}(1+x)\,e^{-nx}\,dx\\&=&1+\frac{1}{n}\tag{2}\end{eqnarray*} $$ Así que se aplica el teorema de convergencia dominada. De hecho, $$ \int_{0}^{+\infty}(1+x)\,\sin(x)\,e^{-nx}\,dx = \left(\frac{n+1}{n^2+1}\right)^2\leq\frac{1}{(n-1)^2}\tag{3}$$ por lo que ni siquiera necesitamos el teorema de convergencia dominante para demostrar que el límite es cero.

Answer 2

El seno está claramente acotado por 1, por lo que basta con demostrar que $$ \left( 1+\frac{x}{n} \right)^{-n} \leqslant \frac{1}{(1+x/2)^2}, $$ que es claramente integrable. ¿Cómo se hace eso? De hecho, se puede hacer de la misma manera que G.H. Hardy muestra en Curso de matemáticas puras que $(1+1/n)^n$ está aumentando en $n$ (es decir, que el tamaño de cada término aumenta, y el número de términos también). De forma similar, la secuencia $(1+x/n)^{-n}$ se puede demostrar que es decreciente, y por tanto se concluye inmediatamente que está acotado por el segundo término, $(1+x/2)^{-2}$ .