¿Cuál es la integral de 1/(z-i) sobre el círculo unitario?

Question

En la actualidad existe un polo simple en el contorno cerrado, por lo que el Teorema del Residuo parece ser inaplicable.

Pero quiero afirmar que podemos ampliar este círculo para asegurarnos de que encierra el polo, y el valor de la integral no debería cambiar, principalmente por el Teorema de Cauchy.

Así que la integral es simplemente $2\pi i$ . (El residuo en $z=i$ es 1.)

¿Qué te parece?

Gracias,

Answer 1

Las integrales de contorno son lo mismo que las integrales en este sentido: no se puede simplemente meter un polo en su trayectoria de integración. En este caso, se puede emplear lo que se conoce como valor principal de Cauchy de la integral de contorno, que excluye el polo. Esto implica deformar la trayectoria de integración alrededor del polo. Que se deforme la trayectoria dentro o fuera del círculo unitario no importa, como ilustraré.

Normalmente, deformo dentro del círculo para excluir el polo; este es el contorno $C$ . La integral sobre $C$ es cero por el teorema de Cauchy. En este caso, la integral es

$$\oint_{C} \frac{dz}{z-i} = PV \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z-i} + i \epsilon \int_{2 \pi}^{\pi} \frac{d\phi \, e^{i \phi}}{i + \epsilon e^{i \phi} - i} = 0$$

Así,

$$PV \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z-i} = i \pi$$

Por otro lado, si utilizamos un contorno $C'$ en la que incluimos el polo, entonces la integral alrededor de $C'$ es igual a $i 2 \pi$ por el residuo del integrando en el polo, cuyo residuo es simplemente $1$ . Así,

$$\oint_{C'} \frac{dz}{z-i} = PV \oint_{|z|=1} \frac{dz}{z-i} + i \epsilon \int_{0}^{\pi} \frac{d\phi \, e^{i \phi}}{i + \epsilon e^{i \phi} - i} = i 2 \pi$$

que produce el resultado anterior.

Ahora, si se amplía el círculo de manera que ya no se encuentre en la circunferencia unitaria sino en una circunferencia de mayor radio que encierre el polo en $z=i$ entonces, sí, la integral sobre ese círculo es efectivamente $i 2 \pi$ . O si se encoge el círculo para que el polo quede fuera del círculo, la integral sobre ese círculo es cero. Pero para el círculo unitario, en el que se encuentra el polo, la integral sobre el círculo sólo tiene sentido cuando se habla de su PV de Cauchy, que es $i \pi$ .

Answer 2

La integral no converge. Para mostrar esto de la manera más informativa, hay que recordar la definición de una integral de contorno: Sea $\gamma(t)$ sea un contorno definido sobre $\mathbb{C}$ con $t\in I$ . Entonces

\begin{align} \oint_{\gamma}{f(z)dz}:=\int_I{f(\gamma(t))\gamma'(t)dt}. \end{align}

Así que aplicando esto a la integral en cuestión (se me ha escapado un poco de álgebra), obtenemos

\begin{align} \oint_{S^1}\frac{1}{z-\imath}dz&=\int_0^{2\pi}{\frac{\imath}{e^{\imath t}-\imath}}dt\\ &=\int_0^{2\pi}\frac{\sin(t)-1+\imath\cos(t)}{1-2\sin(t)}dt. \end{align} Ahora, uno puede (después de un poco de trabajo) calcular que \begin{align} \int\frac{\sin(t)-1+\imath\cos(t)}{1-2\sin(t)}dt=\frac{\tanh^{-1}\left(\frac{\tan\left(\frac{t}{2}\right)-2}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{3}}-\frac{t}{2}-\frac{\imath}{2}\log(1-2\sin(t))+z_0. \end{align}

Esta función es indefinida tanto en $0$ y $2\pi$ y por tanto la integral no tiene límite, o formalmente diverge.