Encontrar una asintótica para el % de la suma $\sum_{p\leq x}p^m$

Question

Posibles Duplicados:
¿Cómo se $ \sum_{p \leq x} p^{-s} $ crecer asintóticamente para $ \text{Re}(s) < 1 $?

¿Qué podría yo utilizar para probar la siguiente conjetura?

$ \sum_{p \le x} p^{m} \sim \operatorname{Li}(x^{m+1}) $

Para $ m=0 $ esto es sólo el primer número teorema, pero sería verdad para otros números 'm' ? O incluso negativo de m?

También si la función puede ser ampliado en el poder de la serie de $ f(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a(n)x^{n} $,

Yo también creo que el $ \sum _{p \le x}f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}a(n)\operatorname{Li}(x^{n+1}) $.

De curso $ \operatorname{Li}(x)= \int_{2}^{x}\frac{du}{\ln(u)} $.

Answer 1

Esta no es una respuesta sino una parcela para $m=1,2,3,10,20$ debido a que algunos peopel pedido.

EDIT: Esto es un poco una respuesta ahora, verá a continuación.

He introducido el código siguiente en Mathematica:

m = 1
maxx = 100
p1 = DiscretePlot[Sum[Prime[n]^m, {n, PrimePi[x]}], {x, maxx}];
p2 = DiscretePlot[LogIntegral[x], {x, maxx}, PlotStyle -> Red];
Show[{p1, p2}]

Parece bien para las pequeñas $m$, como se puede ver a continuación.

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Bueno, en este trabajo encontramos que: $$\sum_{p\leq x\text{ prime}}f(p)\approx\int_2^x \frac{f(y)dy}{\ln y}$$

Substituting $f(p)=p^m$ da, según wolfram alpha: $$\sum_{p\leq x\text{ prime}}p^m\approx \text{Ei}((n+1)\ln x)= \text{Ei}(\ln x^{n+1})=\text{Li}(x^{n+1})$$

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$m=1$ $m=2$ $m=3$ $m=10$ $m=20$, $maxx=10000$