¿Es el principio de mínima acción un problema de valores límite o de condiciones iniciales?

Question

Aquí hay una pregunta que me ha estado molestando desde que era un estudiante de segundo año en la universidad, y probablemente debería haber preguntado antes de graduarse: En la mecánica analítica (lagrangiana), la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange a partir del principio de mínima acción supone que se conocen las coordenadas iniciales y finales en los momentos iniciales y finales. En consecuencia, cualquier variación en la trayectoria física debe desaparecer en sus límites. Esto anula convenientemente las contribuciones de los términos de frontera tras la integración por partes, y estableciendo el requisito de la acción mínima, obtenemos las ecuaciones de E.L.

Todo esto está muy bien, pero nuestra intención es encontrar la ubicación de una partícula en un momento futuro, que no conocemos a priori; después de derivar cualquier ecuación de movimiento para un sistema, la resolvemos aplicando valores iniciales en lugar de las condiciones de contorno.

¿Qué coherencia tienen estos dos enfoques?

Answer 1

I) Problemas de valores iniciales y problemas de valores límite son dos diferentes clases de preguntas que podemos hacer sobre la Naturaleza.

Ejemplo: Para ser concretos:

1. un problema de valor inicial podría ser preguntarse por la trayectoria clásica de una partícula si la posición inicial $q_i$ y la velocidad inicial $v_i$ se dan,

2. mientras que un problema de valor límite podría ser preguntarse por la trayectoria clásica de una partícula si la posición inicial $q_i$ y la posición final $q_f$ (es decir, condiciones de contorno de Dirichlet).

II) Para los problemas de valores límite, no hay teleología porque no estamos derivando una predicción determinista (100% segura) sobre el estado final, sino que nos limitamos a afirmar que si el estado final es tal y tal, entonces podemos derivar tal o cual cosa.

III) En primer lugar, discutamos el caso clásico. Normalmente las ecuaciones de evolución (también conocidas como ecuaciones de movimiento (eom), por ejemplo la 2ª ley de Newton) son conocido y, en particular, lo hacen no dependen de si queremos plantear una cuestión de valor inicial o de valor límite.

Supongamos que el eom puede derivarse de un principio de acción. (Así que si nos olvidamos de los eom, siempre podemos recuperarlos haciendo el siguiente cálculo lateral: Variar la acción con valores fijos (pero arbitrarios) en la frontera para determinar el eom. Los valores fijos específicos en la frontera no importan porque sólo queremos que nos recuerden el eom; no determinar una solución real, por ejemplo, una trayectoria).

IV) Consideremos a continuación un problema de valor inicial o un problema de valor límite, que queramos resolver.

En primer lugar, si tenemos un problema de valor inicial, podemos resolver el eom directamente con las condiciones iniciales dadas. (Parece que aquí es donde OP podría querer establecer un problema de valor límite, pero eso sería precisamente el cálculo lateral mencionado en la sección III, y no tiene nada que ver con el problema de valor inicial en cuestión).

En segundo lugar, si tenemos un problema de valor límite, hay dos posibilidades:

1. Podríamos resolver el eom directamente con las condiciones de contorno dadas.

2. Podríamos plantear un problema variacional utilizando las condiciones de contorno dadas.

V) Por último, mencionemos brevemente el caso cuántico. Si intentáramos formular la integral de trayectoria

$$\int Dq ~e^{\frac{i}{\hbar}S[q]}$$

como un problema de valor inicial, nos enfrentaríamos a varios problemas:

1. El concepto de trayectoria clásica estaría mal definido. Esto está relacionado con que el concepto de derivado funcional $$\frac{\delta S[q]}{\delta q(t)}$$ estaría mal definida, básicamente porque no podemos aplicar el truco habitual de integración por partes cuando los términos de frontera (finales) no desaparecen.

2. Para especificar tanto la posición inicial $q_i$ y la velocidad inicial $v_i$ violaría la Principio de incertidumbre de Heisenberg .

Answer 2

La derivación habitual de las ecuaciones de Euler-Lagrange nos obliga a suponer que tanto las condiciones iniciales como las finales son fijas. Sin embargo, cuando uno deriva realmente las ecuaciones, ve que hay ecuaciones diferenciales en el tiempo, de modo que a partir del conocimiento del estado inicial, incluidas las velocidades (o cualquier derivada que se necesite para especificar el punto inicial del espacio de fase), se pueden derivar los valores en un momento infinitesimal posterior.

Por eso el carácter "teleológico" y acausal del principio de mínima acción es sólo una ilusión. La trayectoria en el tiempo $t$ no depende realmente de ningún valor "supuesto" de los campos en momentos posteriores. Este hecho puede no ser obvio inmediatamente, cuando se formula el principio, pero no obstante es cierto y fácil de ver a través de la derivación matemática de lo que implica el principio.

Answer 3

La mejor manera de entender esta propiedad teleológica es la integral de trayectoria--la condición de frontera final se requiere porque la acción es la fase de amplitud para una trayectoria, y la condición estacionaria está diciendo que estás tomando la trayectoria de fase estacionaria, para que las contribuciones se sumen coherentemente.

Entonces, la relación entre ésta y la formulación diferencial es manifiesta, como explica Lubos Motl. La condición de un camino extremo se impone mediante una ecuación diferencial local. Esto no tiene ningún misterio, porque la suma sobre todas las trayectorias no es teleológica en absoluto, se convierte en teleológica cuando se considera que parece haber tomado una trayectoria estacionaria, pero esto es una consecuencia de la cancelación lejos de la trayectoria estacionaria.

Answer 4

Este documento:

La "derivación" de Feynman de la ecuación de Schrodinger

menciona de manera importante que cualquier cosa que sea cierta para el "camino completo" debe serlo también para porciones del camino, incluyendo porciones infinitesimales. Si la acción no fuera extrema en alguna porción del camino, entonces esa porción podría ser sustituida por otra sub-trayectoria para la que sí lo fuera, entrando en conflicto con la suposición inicial de que el camino completo era extremo.

Así que el principio de mínima acción se aplica también a las porciones de camino, incluidas las porciones infinitesimales. Tengo la sensación de que, estrictamente hablando, que es como acabamos obteniendo el eom.

Answer 5

Matemáticamente es un problema de valor límite por definición, pero físicamente se practica como un problema de condición inicial. Recuerda la ecuación de Newton: $$p(t+dt)=p(t)+F(t)dt$$ Esto significa que el siguiente valor de momento $p(t+dt)$ se determina con los valores locales de $p(t)$ y $F(t)$ y no hay datos futuros. Esta ecuación se descubrió primero como diferencial con las condiciones iniciales (conocidas), y sólo después se descubrió una "derivación integral" bajo condición de coordenadas iniciales y finales conocidas. Matemáticamente el problema de valor límite es correcto y posible, pero no físicamente.