Propiedades de la notación Landau

Question

Me gustaría tomar el límite $x\to 0$ y demostrar o refutar las siguientes afirmaciones sobre la notación de Landau.

(a) $O(x^{3/2})\subset o(x)\subset O(x^{1/2})$

(b) $(1+O(x))^2=1+O(x^2)$

Conozco la deifinición de la anotación O y también lo que significa pero no tengo ni idea de cómo mostrar este tipo de desigualdades.

Agradecería si alguien me puede ayudar.

Answer 1

Las expresiones " $f(x)=O(x)$ " o " $f(x) = o(x)$ " en la notación de Landau significa realmente que la función $f$ pertenece a una clase de funciones, por lo que estrictamente hablando sería más correcto escribir $f \in O(x)$ y $f\in o(x)$ . Sin embargo, la notación tradicional es la estándar, así que todos tenemos que vivir con ella. Al probarlos, hay que recordar que se están probando inclusiones de conjuntos o igualdades, por lo que hay que proceder como para esos.

(a) Si $f(x) = O(x^{3/2})$ entonces $|f(x)| \le M|x|^{3/2} = (M|x|^{1/2}) |x|$ cerca de $0$ y como $M|x|^{1/2} \to 0$ como $x\to 0$ Esto demuestra que $f \in o(x)$ . Si quiere mostrar una inclusión estricta, vea que $x^{4/3} = o(x)$ pero $x^{4/3} \neq O(x^{3/2})$ .

Ahora bien, si $f(x) = o(x)$ entonces $|f(x)| \le \epsilon(x) |x| = (\epsilon(x) |x|^{1/2}) |x|^{1/2}$ con $\lim\limits_{\epsilon \to 0} \epsilon(x) = 0$ Así que $\lim\limits_{\epsilon\to 0} \epsilon(x) |x|^{1/2} = 0$ , lo que implica que $f(x) = o(x^{1/2})$ . Desde $o(x^{1/2}) \subset O(x^{1/2})$ (toda función convergente está acotada localmente), esto implica que $f(x) \in O(x^{1/2})$ . De nuevo, para la inclusión estricta, elija una función $x^{\alpha}$ con $1/2 < \alpha < 1$ .

(b) Esto no es cierto, como se puede ver en el sencillo ejemplo $f(x) = (1+x)^2 = 1+2x+x^2$ . (Siempre hay que probarlos primero, es decir, sólo hay que sustituir el $O(g(x))$ por $g(x)$ y ver si la afirmación es verdadera). Obviamente $(1+x)^2 = (1+O(x))^2$ pero si tuviéramos $f(x) = 1+O(x^2)$ entonces $f(x)-1 = O(x^2)$ Así que $\frac{(1+x)^2 - 1}{x^2} = \frac{x+x^2}{x^2} = \frac{1}{x}+1$ tendría que estar acotado en una vecindad de $0$ que no lo es.