Una pregunta sobre geometría plana elemental

Question

Dado un triángulo $ABC$, que $S$ sea un punto interior de este triángulo. Que $P$, $Q$, $R$ sea la proyección ortogonal de $S$ respectivamente en los tres lados de este triángulo. ¿Hay métodos hermoso (los que implican penetración geométrica con el cálculo mínimo) para obtener la máxima entre todas las $S$ del producto de longitudes no orientado $SP$, $SQ$ y $SR$?

¡Gracias!

Answer 1

No sé si se consideraría esto como una solución algebraica o geométrica.

$$SP \cdot AB = 2\mbox{Area} (SAB)$ $ y del mismo modo los otros dos.

Por lo tanto

$$SP \cdot SQ \cdot SR = 8 \frac{ \mbox{Area} (SAB) \mbox{Area} (SBC) \mbox{Area} (SAC)}{AB \cdot BC \cdot AC }$$

Por lo tanto, el producto es máximo si el producto $\mbox{Area} (SAB) \mbox{Area} (SBC) \mbox{Area} (SAC)$ es máxima. Maximizar este producto es muy fácil con algunos álgebra:

$$\sqrt[3]{\mbox{Area} (SAB) \mbox{Area} (SBC) \mbox{Area} (SAC)} \leq \frac{ \mbox{Area} (SAB) + \mbox{Area} (SBC) + \mbox{Area} (SAC)}{3}= \frac{ \mbox{Area} (ABC) }{3}$$

con igualdad si y solamente si $\mbox{Area} (SAB) = \mbox{Area} (SBC) = \mbox{Area} (SAC)$. Por lo tanto el máximo se obtiene cuando

$$\mbox{Area} (SAB) =\mbox{Area} (SBC)= \mbox{Area} (SAC)$$

Es fácil concluir que $S=G$.

Answer 2

He aquí una parcial solución geométrica. Por razones de brevedad vamos a escribir $x$, $y$, $z$ para las distancias $SP$, $SQ$, $SR$, y $b$, $a$, $c$ para las longitudes de lados correspondientes, como en el siguiente diagrama. Además, vamos a $h$ ser la longitud de la altura $CH$, paralela a la línea de $z$:

Queremos encontrar una $S$ que maximiza $xyz$.

De cálculo sabemos que si $S$ está en un extremo en el que nos movemos es un infinitesimal de distancia en cualquier dirección, $xyz$ no debe cambiar (de primer orden). En particular, esto debe ser verdad si nos imaginamos moviendo $S$ a una pequeña distancia $\varepsilon$ a la izquierda (distancia de un punto a a $F$ en el diagrama). Cuando lo hacemos, $x$ aumenta y $y$ disminuye, pero ya que nos estamos moviendo $S$ horizontalmente, $z$ permanece el mismo.

Porque los triángulos $HAC$ $PFS$ son similares podemos calcular el incremento en el $x$$\Delta x = \varepsilon h/b$. Mutatis mutandis, nos encontramos con $\Delta y = -\varepsilon h/a$ (con el signo contrario debido a que un incremento en $x$ corresponde a un decreas en $y$).

Con un poco de álgebra ahora da $$ \Delta\, xyz = (x+\Delta x)(y+\Delta y)z - xyz = \frac{\varepsilon hyz}b - \frac{\varepsilon hxz}{a} + \text{terms involving }\varepsilon^2$$

Debido a $\varepsilon$ es pequeña podemos ignorar el $\varepsilon^2$ plazo. Desde $\Delta xyz$ debe $0$ entonces tenemos $$ \frac{\varepsilon hyz}b = \frac{\varepsilon hxz}a$$ La eliminación de factores comunes (todos distintos de cero, ya que $z>0$ dentro del triángulo) y de la cruz-la multiplicación nos da $$ \tag{1} ya = xb $$ que reconocemos como la ecuación de una recta en el $x,y$ sistema de coordenadas. (Este sistema de coordenadas no es rectangular, pero las ecuaciones de las líneas tienen el mismo aspecto en sesgar las coordenadas). Si podemos encontrar dos soluciones diferentes a $(1)$, la línea que conecta ellos será un locus en cada extremo de $xyz$ dentro del triángulo debe acostarse.

El rincón de $C$ es claramente una solución a $(1)$ porque no tenemos $x=y=0$. ¿Dónde podemos encontrar otro? El punto medio entre el $A$ $B$ debe ser uno, porque hay a ambos lados de $(1)$ pasaría a ser el área del triángulo $ABC$.

Así que en cada extremo de $xyz$, debe recaer en la mediana de $C$, y repitiendo el argumento con otra orientación, podemos ver que debía de estar en el otro medianas demasiado. De modo que la intersección de las medianas es el único lugar en el interior de un triángulo que puede ser local del extremo.

Desde allí, obviamente, debe ser un máximo global en algún lugar en el triángulo, la intersección de las medianas tiene que ser.