Esto es de Atiyah-Macdonald. Me pidió a ver si cada primer ideal de $A$ es máxima, a continuación, $A/R$ es absolutamente plana, Spec ($A$) $T_{1}$ espacio,además de Especificaciones($A$) es Hausdorff. A continuación, el autor me pidió que muestran la Especificación($A$) está totalmente desconectado. Me pregunto por qué, porque no es automático que un compacto Hausdorff espacio está totalmente desconectado (considere el $\mathbb{S}^{1}$ como un punto de compactification de $\mathbb{R}$, por ejemplo). ¿Por qué nos podemos poner Espec$A$ una topología discreta cuando sabemos elementos $\{p\}$ está cerrado?
Respuesta
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Bueno, lo primero, no hay una distinción entre quasicompactness y la compacidad. Un espacio topológico $X$ es quasicompact si toda cubierta abierta de a $X$ tiene un número finito de subcover. El espacio topológico $X$ se dice compacto si es quasicompact y Hausdorff.
Sabemos que el $Spec(A)$ es quasicompact para cualquier anillo de $A$. Si usted ha arreglado para mostrar para el problema anterior que $Spec(A)$ es Hausdorff, entonces esto significa que $Spec(A)$ es compacto.
Reclamo: Para un no-unidad de $f$, el distinguido conjunto abierto $D(f) = \{p \in Spec(A): f \notin p \}$ es cerrado.
Prueba de reclamación: Desde $f$ no es una unidad, se deduce que el $D(f) \subsetneq Spec(A)$. Nuestro objetivo será mostrar que $Spec(A) - D(f)$ está abierto. Deje $p \in Spec(A) - D(f)$. A continuación, $f \in p$. Tenga en cuenta que $f$ es nilpotent en $A_p$, ya que la única flor de la $A_p$$p(A_p)$. Por lo tanto, existe $s_p \in A - p$ tal que $s_pf^n = 0$ algunos $n \in \mathbb{N}$. A continuación,$p \in D(s_p)$, e $D(s_p) \cap D(f) = \emptyset$. Por lo tanto, $D(s) \subset Spec(A) - D(f)$. Desde $p$ fue un punto arbitrario de $Spec(A) - D(f)$, esto muestra que $Spec(A) - D(f) = \bigcup_{p \in Spec(A) - D(f)} D(s_p)$ es abierto, por lo tanto $D(f)$ es cerrado.
Por lo tanto, para todos los $f \in A$, $D(f)$ es un clopen conjunto (simultáneamente abierto y cerrado).
Ahora vamos a $C$ ser conectado a un componente de $Spec(A)$ con más de un elemento, decir $p_1, p_2$. Desde $p_1, p_2$ son máximas y distintas, no existe $f \in p_1$ tal que $f \notin p_2$. A continuación, $D(f)$ es un clopen conjunto que contiene a $p_2$ pero no $p_1$. Esto demuestra que $C \cap D(f)$ es un buen clopen conjunto de $C$, lo que se contradice con la conexión de la $C$.
