germen finitamente determinado

Question

¿Alguien conoce algún resultado sobre gérmenes finitamente determinados que me ayude a demostrar que el germen $f(x,y)=x^3+ xy^3$ es $4$ - ¿determinado? Intenté usar la definición de gérmenes finitamente determinados, que es: $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es $k$ -determinado si para cualquier otro germen $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ de manera que el $k$ -de g es igual a $k$ -jet de la $f$ entonces $f$ et $g$ son equivalentes correctos, es decir, existe un difeomorfismo $h$ tal que $f=g\circ h$ pero sin conseguirlo. Creo que debería haber algún resultado que me ayude a probarlo. Gracias.

Answer 1

Su germen de función $f$ tiene un $E_7$ singularidad en el cero. De hecho, es la forma normal de un $E_7.$ Todas las singularidades simples son finitas $\mathscr{R}$ -determinado. Estás en lo cierto al pensar que tu función germen es 4- $\mathscr{R}$ -determinado. Como el número de Milnor $\mu(f) = 7$ hay un buen resultado que dice que existe una vecindad $U \subset \mathbb{C}\{x,y\}$ que contiene $f$ de manera que cada $g \in U$ es 8- $\mathscr{R}$ -determinado.

Una deformación mini-versal de $f(x,y)$ está dada por: $$F((x,y),\lambda) = x^3 + xy^3 + \lambda_1y^4 + \lambda_2y^3 + \lambda_3y^2 + \lambda_4xy + \lambda_5x + \lambda_6y + \lambda_7$$

Este PDF sobre el Clasificación de las singularidades del ADE será de interés.