Propagador de Feynman para valores arbitrarios del indicador de parámetro $\zeta$

Question

Para la elección de $\zeta = 1$ el Lagrangiano pueden ser llevadas a una particular forma simple sobre la integración por partes en la acción integral. Ecuación$$\mathcal{L}' = -{1\over4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - {1\over2}\zeta(\partial_\sigma A^\sigma)^2$$with $\zeta = 1$ can be transformed into$$\mathcal{L}' = -{1\over2}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu + {1\over2}\partial_\mu A_\nu \partial^\nu A^\mu - {1\over2}\partial_\mu \partial_\nu A^\nu$$$$= -{1\over2}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu^\nu + {1\over2} \partial_\mu [A_\nu(\partial^\nu^\mu) - (\partial_\nu^\nu)A^\mu].$$The last term is a four-divergence which has no influence on the field equations. Thus the dynamics of the electromagnetic field (in the Lorentz gauge) can be described by the simple Lagrangian$$\mathcal{L}'' = -{1\over2}\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu.\tag*{$(*)$}$$

Más adelante en el libro que estoy leyendo, tenemos la siguiente, donde trabajó para el caso de arbitrario $\zeta$:

Si el indicador de fijación de parámetro es $\zeta \neq 1$ el Lagrangiano $(*)$ se ha cambiado a$$\mathcal{L}'' = -{1\over2} \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu - {{\zeta - 1}\over2}(\partial_\nu A^\nu)^2.$$

A mí, sin embargo, no es tan claro cómo esta fórmula para $\mathcal{L}''$ viene de aquí, en el caso de arbitrario $\zeta$. Alguien podría ayudar a explicar?

Answer 1

\begin{align} \mathcal{L}&= -\frac{1}{4} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} -\frac{\zeta}{2}\left( \partial\cdot A\right)^2 \\ &=-\frac{1}{2} \partial _\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu +\frac{1}{2} \partial _\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu -\frac{\zeta}{2}\left( \partial\cdot A\right)^2 \\ &=-\frac{1}{2} \partial _\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu +\frac{1}{2} \partial _\mu A_\mu\partial^\nu A^\nu -\frac{\zeta}{2}\left( \partial\cdot A\right)^2 \\ &=-\frac{1}{2} \partial _\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu +\frac{1}{2} \left( \partial\cdot A\right)^2 -\frac{\zeta}{2}\left( \partial\cdot A\right)^2 \\ &=-\frac{1}{2} \partial _\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu -\frac{\zeta-1}{2}\left( \partial\cdot A\right)^2 \\ \end{align} donde en la segunda línea sólo utilizamos la definición de $F^{\mu \nu}$, y en la tercera línea nos hizo integración por las piezas dos veces para intercambiar lugares para dos derivados