Por qué usamos $\mathrm{Fn}(\kappa\times\lambda,2,\lambda)$ para forzar $2^\lambda\ge\kappa$ en lugar de $\mathrm{Fn}(\kappa\times \lambda,2)$

Question

Estoy leyendo el libro de Kunen Teoría de conjuntos y lo aprendo, $\operatorname{Fn}(\kappa\times\omega,2)$ fuerzas $2^{\aleph_0}\ge|\kappa|$ , donde $$\operatorname{Fn}(I,J,\lambda)=\{p:p\text{ function},\,\operatorname{dom}p\subset I,\,\operatorname{ran}p\subset J,\,|p|<\lambda\}$$ y $\operatorname{Fn}(I,J)=\operatorname{Fn}(I,J,\omega)$ . Sin embargo, al forzar $2^\lambda\ge\kappa$ para el cardenal $\kappa$ y el cardenal regular $\lambda$ Kunen utiliza $\operatorname{Fn}(\kappa\times\lambda,2,\lambda)$ en lugar de $\operatorname{Fn}(\kappa\times\lambda,2)$ . Como pienso, $\operatorname{Fn}(\kappa\times\lambda,2)$ preserva los cardenales y parece añadir $|\kappa|^{V[G]}$ muchos subconjuntos de $\lambda$ por lo que creo que podemos utilizar $\operatorname{Fn}(\kappa\times\lambda,2)$ para forzar $2^\kappa\ge\lambda$ . Sin embargo, todas las referencias que veo utilizan $\operatorname{Fn}(\kappa\times\lambda,2,\lambda)$ no $\operatorname{Fn}(\kappa\times\lambda,2)$ .

¿Hay alguna razón para utilizar $\operatorname{Fn}(\kappa\times\lambda,2,\lambda)$ en lugar de $\operatorname{Fn}(\kappa\times\lambda,2)$ ? ¿He entendido algo mal? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Tienes razón en que $\operatorname{Fn} ( \kappa \times \lambda , 2 )$ preservará los cardinales (el argumento habitual de Δ-System muestra que es c.c.c.). Y en la extensión genérica tendremos $2^\lambda \geq | \kappa |$ . Sin embargo el forzamiento será más "destructivo" para la exponenciación cardinal ya que para cada $\aleph_0 \leq \mu \leq \lambda$ en el modelo de tierra obtendremos $2^\mu \geq | \kappa |$ en la extensión genérica. Es básicamente para ganar más control sobre la exponenciación cardinal por debajo de $\lambda$ que utilizamos $\operatorname{Fn} ( \kappa \times \lambda , 2 , \lambda )$ que es ${<}\lambda$ -cerrado, por lo que no añade nuevos subconjuntos de ningún $\mu < \lambda$ .

Por ejemplo, si quiere mostrar que $2^{\aleph_0} = \aleph_5 \wedge 2^{\aleph_1} = \aleph_8$ es consistente, sería tentador empezar en un modelo de $\mathsf{GCH}$ y probar la iteración $\operatorname{Fn} ( \omega_5 \times \omega , 2 ) * \operatorname{Fn} ( \omega_8 \times \omega_1 , 2 )$ . Sin embargo, después de hacer esto tendremos $2^{\aleph_0} = \aleph_8$ que no es lo que deseábamos. Partiendo de un modelo de $\mathsf{GCH}$ y en su lugar utilizar condiciones "más largas $\operatorname{Fn} ( \omega_5 \times \omega , 2 ) * \operatorname{Fn} ( \omega_8 \times \omega_1 , 2 , \omega_1 )$ Después de la primera etapa, pulsamos $2^{\aleph_0}$ hasta $\aleph_5$ y el segundo forzamiento no lo estropeará.