¿Son los espacios proyectivos complejos orientable?

Question

Sé que $\mathbb{RP}^1$ es orientado (ya que es esencialmente el projectively extendido línea real), sino $\mathbb{RP}^2$ no es (como la no-orientable de la superficie de género 1 podría decirse que es el más simple no-orientable de la superficie). De acuerdo a Wikipedia, para los espacios proyectivos, este patrón continúa -- orientable para $n$ impar y no-orientable para $n$ incluso.

Sin embargo, en contraste, la Wikipedia no dice nada acerca de la orientability de complejo de espacios proyectivos. Sé que $\mathbb{CP}^1$ es homeomórficos a la esfera (siempre $\mathbb{R}^2 \sim \mathbb{C}$) que es orientable, y que el verdadero espacio proyectivo de dimensión $1$ es orientable. Por otro lado, la compleja dimensión de $1$ es en cierto sentido más como dimensión real de $2$, y el real proyectiva de la superficie de $\mathbb{RP}^2$ es no orientable.

Mis preguntas:

1. Es orientability invariantes bajo homeomorphisms? O simplemente diffeomorphisms? En el primer caso se podría usar la orientability de $S^2$ y el homeomorphism con $\mathbb{CP}^1$; en el último caso, le queda mucho trabajo por hacer si estábamos a la afirmación de que $\mathbb{CP}^1$ es orientable.

2. Son todos los complejos espacios proyectivos orientable? (E. g. no sólo el complejo proyectiva de la línea de $\mathbb{CP}^1$, pero también el complejo plano proyectivo $\mathbb{CP}^2$.) Wikipedia dice que todos los complejos colectores están orientados (no sólo orientables), lo que supondría que son. Es esta la demanda sobre los complejos colectores de verdad? (No sé complejo colector de la teoría, por lo tanto ¿por qué estoy pidiendo.)

Answer 1

Cada complejo colector es orientable, como todos los complejos espacio vectorial como una canónica de la orientación como un espacio real. Es decir, si $V$, es un complejo espacio vectorial, y $B= (u_1,...,u_n)$ es una base (sobre C), a continuación, $B^*=(u_1,...,u_n, iu_1,...iu_n)$ es una base de más de $\bf R$. Tenga en cuenta que si $B'$ es otra base sobre $C$ $l$ el único lineal mapa de $C$ mapa, tales que $lB=B'$, $lB^*=B'^*$, y el determinante de a $l$, viwed como un $R$ lineal mapa es el squre de que el módulo de la determinante de la $l$, por lo tanto positivos. Así, la orientación dada por $B$ es el mismo que el dado por $B'$, y el complejo lineal mapas conserva esta orientación.

Answer 2

1) Una orientación topológica colector $X^n$ es una opción de generador de $X_p$ de cada grupo de homología $H_n(X, X\setminus, p, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$ compatible con las inclusiones $(X, X\setminus U) \to (X, X\setminus p)$ para los vecindarios $U$$p$. Para un liso, en lugar de simplemente topológico, colector, desentrañar la definición anterior nos da la definición habitual de orientability en términos de la trivialidad de la $\det \bigwedge^n T^*X $.

En este caso particular, una manera fácil de probar que $\mathbb{CP}^n$ es orientable se observa que el $\pi_1 \mathbb{CP}^n = 0$. Que sigue inmediatamente desde el celular teorema de aproximación, por ejemplo, o la fibration $S^1 \to S^{2n+1} \to \mathbb{CP}^n$ donde $S^1\subset \mathbb{C}$ actúa en $S^{2n+1}\subset \mathbb{C}^{n+1}$$z.(w_0, \dots, w_n) = (zw_0, \dots, zw_n)$.

2) de forma Más general, el resultado se cumple para cualquier casi-compleja de múltiples; es decir, cualquier real colector $X$ con un mapa de $J:TX \to TX$ tal que $J_p:T_p X \to T_p X$$J^2 = -1$. (Cualquier complejo múltiple es también casi-compleja; tome $J$ a ser la multiplicación por $i$ en cada fibra). Para orientar $X$, tomar una base compleja $v_1, \dots, v_n$$T_p X$, y deje $v_1, \dots, v_n, Jv_1, \dots, Jv_n$ ser su correspondiente orientación como un verdadero espacio vectorial. Alternativamente, para un buen complejo colector, considere la forma superior de la $\omega = dz_1 \wedge d\overline{z}_1 \wedge \dots dz_n \wedge d\overline{z}_n$ para un local de coordenadas del gráfico de $(z_1, \dots, z_n)$.