Aplicaciones de integrales de funciones racionales de seno y coseno

Question

Yo antes le pidió a esta pregunta acerca de la conformación de equivalencia de tv de tori con la inserción de tori.

En el siguiente hilo de la integral de la $\displaystyle\int\frac{dx}{R+\cos x}$ ocurrió. Si no me equivoco, era sólo para que la integral que Euler introdujo por primera vez la tangente de la mitad de ángulo de sustitución a veces (probablemente de forma incorrecta?) llama la sustitución de Weierstrass.

Así que hay una aplicación de la geometría, de una integral de una función racional de seno y/o coseno.

$\Large\mathbb Q$uestion: ¿Qué otras aplicaciones de las integrales existen?

Answer 1

Problema 1.17 de Traba & Walecka, Teórico de la Mecánica de Partículas y Continua de los estados, el siguiente problema interesante:

Un haz uniforme de partículas con energía $E$ es dispersada por un atractivo potencial central

$$V(r) = \begin{cases}0 & r \gt a\\ -V_0 & r \lt a \end{cases}$$

Mostrar que la órbita de un objeto es idéntico con el de una luz rayo refractado por una esfera de radio $a$ y el índice de refracción $n=[(E+V_0)/E]^{1/2}$. Demostrar que el diferencial de la cruz-sección para $\cos{\theta/2} \gt 1/n$ es

$$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \frac{n^2 a^2}{4 \cos{\frac12 \theta}} \frac{(n\cos{\frac12 \theta}-1)(n-\cos{\frac12 \theta})}{(1+n^2-2 n \cos{\frac12 \theta})^2}$$

¿Cuál es el total de la sección transversal?

Con el fin de encontrar el total de la dispersión de la sección transversal, uno tiene que integrar sobre todos los ángulos sólidos; ya que la expresión para la diferencial de la sección transversal es independiente del ángulo azimutal $\phi$, acabará con el total de la sección transversal

$$\sigma = \frac{n^2 a^2}{2} \int_0^{2 \arccos{(1/n)}} d\theta \, \sin{\frac{\theta}{2}} \frac{(n\cos{\frac12 \theta}-1)(n-\cos{\frac12 \theta})}{(1+n^2-2 n \cos{\frac12 \theta})^2}\\ = n^2 a^2 \int_0^{\arccos{(1/n)}} du \, \sin{u} \frac{(n \cos{u}-1)(n-\cos{u})}{(1+n^2-2 n \cos{u})^2}$$

Así que aquí está un ejemplo en la física de una integral de una función racional de los senos y cosenos. En este caso, sin embargo, la integral es bastante fácil porque uno puede sustituir a $v=\cos{u}$ y convertir esto en una simple integral de una función racional

$$\sigma = n^2 a^2 \int_{1/n}^1 dv \frac{(n v-1)(n-v)}{(1+n^2-2 n v)^2}$$

Uno puede evaluar esta integral mediante la sustitución de $w=1+n^2-2 n v$; el resultado es

$$\sigma = \frac12 a^2$$

Answer 2

Para obtener la sección transversal total, deberás integrar sobre el ángulo azimutal. Ya que no existe ninguna dependencia azimutal, que sólo se traducirá en un factor de $$2\pi$$ to the total cross section, for a final result of $%$ $\sigma = \frac{a^2}{2}\cdot2\pi = \pi a^2$este también es el área transversal del potencial de dispersión.