¿Cómo funciona una densidad de escritura como una forma?

Question

En cálculo vectorial, dada la densidad de $\rho$ de un cuerpo con volumen $V$, es la masa total $M$ es simplemente $M=\int_V \rho dV$.

Si la densidad de $\rho$ es una forma, digamos dm que tendría que ser una forma de volumen para integrar sobre el volumen de $V$; así tenemos la masa total $M=\int_V dm$; pero luego, por el teorema de Stokes esto también es $\int_{\partial V} m$; lo que significa que el símbolo $m$ debe representar una especie de densidad superficial - pero esto no puede ser correcto; como no hay manera, en general, para distribuir toda la masa del cuerpo a la superficie de manera genérica.

Entonces, ¿cómo hace uno para pensar acerca de la densidad de masa en la tecnología de las formas? Es la densidad incluso el concepto correcto aquí? Debe decir una vez?

Answer 1

La densidad es una 3-forma, puesto que usted le escribo como $$\omega:=\rho\text dx\wedge\text dy\wedge\text dz.$ $ en especial de la relatividad sigue siendo (el componente de tiempo de) forma 3. Más concretamente tiene una densidad actual $J$ de la forma $$J = \rho\text dx\wedge\text dy\wedge\text dz + J_x \text dt\wedge\text dy\wedge\text dz+ J_y \text dx\wedge\text dt\wedge\text dz + J_z\text dx\wedge\text dy\wedge\text dt.$ $

Observar que en general $\omega$ no es necesario el derivado exterior de otra forma, así $\text dm$ es sólo un símbolo para indicar que una pequeña cantidad de una cantidad escalar, no el diferencial de algo, que luego sería una 2-forma ($m$ es, si acaso, una 0-forma).