¿Cómo puedo resolver integrales de funciones racionales de polinomios en$x$?

Question

Me gustaría saber una forma de resolver integrales como este:$$\int \frac{x}{3x - 4}dx$ $

También, asumo que las integrales similares donde x está al cuadrado se resuelven de una manera similar. (Si la respuesta es sí, entonces no me muestre también cómo resolver este segundo, quiero ver si puedo hacerlo yo mismo :))$$\int \frac{x^2}{x^2 - 1}dx$ $

(No he incluido las condiciones que x debe cumplir para que éstas sean expresiones válidas.)

Answer 1

Cada vez que usted está tratando de integrar una función racional, el primer paso es hacer la división, de modo que el numerador es de grado estrictamente menor que el numerador (esto es lo que Eugene Bulkin y J. M. están diciendo en los comentarios). Por ejemplo, para $$\int \frac{x}{3x-4}\,dx$$ usted debe hacer la división de $x$ $3x-4$ con el resto. Este es $$x = \frac{1}{3}(3x-4) + \frac{4}{3}$$ lo que significa que $$\frac{x}{3x-4} = \frac{1}{3} + \frac{4/3}{3x-4}.$$ Por lo que la integral se puede escribir como $$\int \frac{x}{3x-4}\,dx = \int\left(\frac{1}{3} + \frac{4/3}{3x-4}\right)\,dx = \int\frac{1}{3}\,dx + \frac{4}{3}\int \frac{1}{3x-4}\,dx.$$

La primera integral es inmediata. La segunda integral de los rendimientos a un cambio de variable $u=3x-4$. Tenemos $$\begin{align*} \int\frac{x}{3x-4}\,dx &= \int\frac{1}{3}\,dx + \frac{4}{3}\int\frac{1}{3x-4}\,dx\\ &= \frac{1}{3}x + \frac{4}{9}\int\frac{du}{u}\\ &= \frac{1}{3}x + \frac{4}{9}\ln|u| + C\\ &= \frac{1}{3}x + \frac{4}{9}\ln|3x-4| + C. \end{align*}$$ En general, si usted tiene un denominador de grado $1$, haciendo la división larga siempre se puede expresar como un polinomio, además de una función racional de la forma $$\frac{k}{ax+b}$$ con $k$, $a$, y $b$ constantes. El polinomio es fácil de integrar, y la fracción puede ser integrado con un cambio de variable.

Lo mismo es cierto para la segunda integral. Haciendo la división larga da, como se nota, que $$\int \frac{x^2}{x^2-1}\,dx = \int\left(1 + \frac{1}{x^2-1}\right)\,dx = \int\,dx + \int\frac{1}{x^2-1}\,dx.$$ La primera integral es fácil. La segunda es así, el uso de fracciones parciales: $$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x+1)(x-1)} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$$ así: $$\int\frac{1}{x^2-1}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x+1} = \frac{1}{2}\ln|x-1| - \frac{1}{2}\ln|x+1|+C.$$

Ver también algunos de los comentarios en esta respuesta en la resolución de integrales por fracciones parciales.

Answer 2

Para sus dos ejemplos mis primeras líneas sería

ps

y

ps

Puede extender esta técnica fácilmente, por ejemplo

ps