¿Qué es la "Tychonoffication"?

Question

En este enlace: http://mathoverflow.net/questions/23940/why-free-topological-groups-on-tychonoff-spaces

He leído lo siguiente:

Deje $X$ ser un espacio topológico. El Tychonoffication $Y$ $X$ es el cociente de $X$ por la relación $x\sim y$ fib $f(x)=f(y)$ para todos los continuos $f:X\to\mathbb{R}$, y damos a $Y$ a los débiles de la topología inducida por todas estas real vauled mapas.

Esto hace que $Y$ un espacio de Tychonoff que cumple la característica universal: cualquier mapa continuo de $X$ a un espacio de Tychonoff factores de forma exclusiva a través de $Y$.

No entiendo dos cosas:

1) La topología débil de una familia de funciones de $f_i:X\to X_i$ es la topología más de $X$ a que la subbase $\{f^{-1}_i(U):...\}$. ¿Cómo puede el valor real de las funciones de $f:X\to\mathbb{R}$ dar una topología sobre $Y$?

2) ¿Qué significa "factores a través de $Y$"?

Gracias.

Answer 1

1) creo que significa lo siguiente: Para cualquier función continua $f:X\to\mathbb R$, le corresponde una función de $F_f:Y\to\mathbb R$, definido como: $F_f([x])\equiv f(x)$ donde $x\in X$ es arbitraria miembro de la clase de equivalencia $[x]\in Y$. La cantidad de $F_f([x])$ está bien definido y no depende de la particular elemento $x$ de la equivalencia de la clase, porque todos los elementos de la clase de equivalencia de dar el mismo valor de $f$ por la definición de la equivalencia de la relación de $\sim$. Ahora bien, dada esta familia de funciones con valores de $(F_f)_{f\in\mathbb R^X\text{ continuous}}$, se puede definir una "topología débil" en la $Y$ como la topología generada por la siguiente base: $$\{F_f^{-1}(U)\,|\,f\in\mathbb R^X\text{ is continuous and }U\subseteq\mathbb R\text{ is open}\}.$$

---

2) Deje $\pi:X\to Y$ ser el cociente mapa: si $x\in X$, $\pi(x)\equiv[x]$ se define como la clase de equivalencia $x$. Por otra parte, vamos a $Z$ ser cualquier espacio de Tychonoff y deje $h:X\to Z$ ser una función continua. Entonces, que "$h$ exclusiva de los factores a través de $Y$" significa que existe una única función de $g:Y\to Z$ tal que

• $g$ es continua (con respecto a la topología débil en $Y$ construido de arriba); y
• $h=g\circ \pi$;

es decir, el siguiente diagrama conmuta: \begin{align*} \begin{array}{ccl} X&\overset{\pi}{\longrightarrow}&Y&\\ &\underset{h}{{\searrow}}&\big{\downarrow}\scriptsize{g}\\ &&Z& \end{array} \end{align*}