Hay dos, íntimamente relacionados, nociones de chorros asociado con un vector paquete de $\pi: E\to X$. El 1 es $J_k^{sect}(E)$, el espacio de $k$-chorros de secciones de $\pi:E\to X$, es decir, mapas $s:X\to E$ tal que $\pi\circ s=id_X$. El segundo es el espacio de $J_k^{triv}(E)$ $k$- jets en $0\in\mathbb C^n$ de los locales como banalizaciones $U\times \mathbb C^r\to E$ donde $U$ es un barrio de $0\in\mathbb C^n$. Es bueno tener en cuenta ambas nociones, ya que ambos se producen en la literatura.
Comienzan con $J_k^{triv}(E)$. Este es un haz de fibras de más de $X$, donde la fibra en $x\in X$ $k$- chorros $0\in \mathbb C^n$, $j_k(\phi)_0$, de como banalizaciones $\phi: U\times \mathbb C^r\to E$ sobre los mapas (incrustaciones) $U\to X$ tal que $0\mapsto x$. Claramente, $j_0(\phi)_0$ es sólo un isomorfismo lineal $\mathbb C^r\to E_x$ , lo $J_0^{triv}(E)$ es el marco de paquete de $E$ principal $GL(r)$-bundle, donde $GL(r)$ está actuando por la pre-composición en isomorphisms $\mathbb C^r\to E_x$.
Más generalmente, se puede pre-componer cualquier banalización $\phi: U\times \mathbb C^r\to E$ con un paquete de automorphism de $U\times \mathbb C^r$, más de un diffeomorphism de $U$ que corrige $0$. Un paquete de automorphism está dado por $(y, v)\mapsto (f(y), g(y)v)$ donde $f$ es un diffeomorphism de $U$ que corrige $0$, e $g:U\to GL(r)$. Tomando $k$-jets, $J_k^{triv}(E)$ se convierte en un director de $G_k$-bundle, donde $G_k$ es el grupo de $k$-jets en $0$ de dicho paquete de automorfismos.
La relación entre las dos nociones de chorros es la siguiente: $J_k^{sect}(E)$ es el vector paquete asociado a $J_k^{triv}(E)$ y una representación
de $G_k$ en el espacio de $k$-jets en $0\in U$ de las secciones de $U\times \mathbb C^r\to U$
(Yo vamos a averiguar la representación).
Para $k=0$, $G_0=GL(r)$, $J_0^{sect}(E)$ es sólo $E$ sí y $J_0^{triv}(E)$ es el marco de paquete de $E$.
Para $k=1$, desde $f(0)=0$, $j_1(f)_0$ está dado por $df(0)\in GL(n)$. Pero $j_1(g)_0$ tiene dos piezas de datos: $g(0)\in GL(r)$ y
$g(0)^{-1}dg(0):\mathbb C^n \to Mat_r(\mathbb C)$.
Por lo $J_1(E)$ es una de las principales $G_1$-paquete de más de $X$ donde $G_1$ es el semi-directa de productos
de $GL(n)\times GL(r)$ $(\mathbb C^n)^*\otimes Mat_r(\mathbb C)$ donde $GL(n)$ actúa en el 1er factor por el doble del estándar de la representación y de la $GL(r)$ en el segundo por la conjugación. De hecho, puede usted pensar de $J_1^{triv}(E)$ como un conjunto de "extended" de marcos para $E$, pero un cuadro extendido en $x\in X$ consiste de más de un par de "framings" de $E_x$$T_xX$; hay también una pieza extra, que se puede describir invariantly como un $End(E_x)$ con valores de 1-forma en $x$.
Nota: creo que la referencia que das en tu comentario abajo está equivocada sobre este punto; se dice que $G_1=GL(n)\times GL(r)$. Para $k>1$, $G_k$ es aún más complicado.
Para obtener la fibra de la dimensión de $J_k^{sect}(E)$ inductiva puede utilizar la secuencia exacta de vector de paquetes de $0\S^k(T^* X)\otimes E\a J_k^{secta}(E)\J_{k-1}^{secta}(E)\a
0.$ You get for example that $J_1^{secta}(E)$ is a vector bundle of rank $rn+r$.
Para la fibra de la dimensión de $J_k^{triv}(E)$ puede utilizar una secuencia similar (yo vamos a rellenar los detalles).
Si $X$ es un complejo de múltiples y $E\to X$ es un holomorphic vector paquete, que todos los
paquetes, mapas, etc son holomorphic así.
