Al estudiar la cuantificación de una teoría de campo con campos libres, los operadores de creación$a^\dagger(k)$ son independientes del tiempo. En una teoría que interactúa, son dependientes del tiempo, y por lo tanto$a^\dagger(k, -\infty)$ no es igual a$a^\dagger(k, +\infty)$. Me gustaría entender mejor cuál es la forma que toma esta diferencia: ¿cómo exactamente difieren? ¿Cuáles son las consecuencias físicas?
Respuesta
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Vamos a considerar un real, escalar campo de la teoría de la simplicidad (y métrica de la firma de $+ - - -$). En el libre de teoría, uno puede usar el modo de expansiones del campo $\phi(x)$ y su canónicas conjugadas impulso $\pi(x)$ a derivar las siguientes expresiones para la creación y aniquilación de los operadores: $$ a(p)=i\int d^3x\ e^{ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x),\ a^\dagger(p)=-i\int d^3x\ e^{-ipx}\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x)$$ donde $g\overset{\leftrightarrow}{\partial_0}f:=g\partial_0f-(\partial_0 g)f$. Esta relación es siempre verdadera (y exacta) en el campo libre de la teoría.
En la interacción de la teoría, se hace la suposición - generalmente acompañados por un poco de mano saludando argumento acerca de 'la desactivación de las interacciones en el pasado lejano y el futuro' - que estas relaciones todavía se mantienen asintóticamente (es decir, como $t\to \pm \infty$). Ahora, queremos saber cuánto $a$ $a^\dagger$ cambiar con el tiempo, por lo que consideramos lo siguiente: $$\Delta(p)=a(p,\infty)-a(p,-\infty)=\int\partial_0 a(p,t)\ dt=i\int d^4x\ \partial_0 \left(e^{ipx}\desbordado{\leftrightarrow}{\partial_0}\phi(x)\right)$$ Uno simplemente escribe estos derivados, y utiliza un adicional de hipótesis sobre el comportamiento de $\phi(x)$ en el infinito a la cancelación de algunos términos, para finalmente llegar a $$\Delta a(p)=i\int d^4x\ e^{ipx}(m^2+\partial^2_t-\partial_i^2)\phi(x)=i\int d^4x\ e^{ipx}(\square+m^2)\phi(x) $$ Esta muestra de inmediato que $\Delta a(p)$ es cero en el libre de la teoría, ya que el campo libre obedece a la Klein-Gordong ecuación de $(\square+m^2)\phi=0$, reflejando el hecho de que $a(p)$ es independiente del tiempo en este caso. Sin embargo, en una interacción de la teoría de la ecuación de movimiento es diferente y (generalmente) no lineal (por ejemplo, $(\square+m^2+\lambda\phi^3)\phi=0$ en el caso de $\phi^4$-teoría), por lo tanto, $\Delta(p)$ no va a desaparecer en la interacción caso. Es fácil derivar una expresión muy similar para $\Delta a^\dagger(p)$, lo que puede dar la misma interpretación.
Addendum (18-12-2014):
Resulta que no es del todo sencillo encontrar una buena interpretación de las principales expresiones. Sin embargo, creo que ahora he encontrado una buena imagen mental. Para hacerlo un poco más claro, sin embargo, tenemos que hacer algo más de trabajo. A partir de las expresiones para $\Delta a(k)$ $\Delta a^\dagger(k)$ es bastante sencillo para derivar la LSZ fórmula de reducción de $N$ partículas entrantes con los ímpetus $p_i$ $M$ saliente partículas con ímpetus $k_i$ (en la posición del espacio). Si uno, a continuación, realiza una transformada de Fourier, podemos encontrar :
\begin{align}\langle k_1\dots k_M|S|p_{1}\dots p_{N}\rangle &=(2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum P\Big) \prod_{i=1}^M i(k_i^2+m^2)\prod_{j=1}^Ni(p_i^2+m^2)\\ &\hspace{1cm}\times i\tilde G_{M+N, c}(p_1,\dots,k_{M-1})\\ &=(2\pi)^4\delta^{(4)}\Big(\sum P\Big) \Big(i\tilde G_{2, c}^{(0)}(k_1)\Big)^{-1} \dots\Big(i\tilde G_{2, c}^{(0)}(p_N)\Big)^{-1}\\ &\hspace{1cm}\times i\tilde G_{M+N, c}(p_1,\dots,k_{M-1}) \end{align}
Aquí, es más sencillo dar una interpretación. El último 'grande' propagador básicamente lleva a la $N$ inicial de partículas y permite que el tiempo de evolucionar, incluyendo los términos de interacción, a $M$ de las partículas en la 'a'-el estado es básicamente una caja negra. Entonces, el producto de la inversa gratis (nota: el superíndice $(0)$) propagadores puede ser interpretado como sustrae la libre evolución en el tiempo, de todas las partículas de forma individual.
Con esto en mente, podemos dar la misma interpretación a la expresión de $\Delta a$ y su hermitian conjugado: podemos interpretar la $(\square+m^2)$ 'restando off' de la 'libre' tiempo de evolución, manteniendo sólo la parte que se debe a la interacción (como sabemos, a la libre creación/aniquilación de los operadores debe ser independiente del tiempo). Soy consciente de que esto es muy handwavey, pero creo que es lo mejor que puedo hacer en términos de proporcionar una intuición de lo 'que significa' - por supuesto, uno debe en su mayoría sólo cállate y calcular ;)
