¿De dónde viene el aumento constante por 2 de las diferencias entre entero plaza de valores?

Question

$1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, etc...

Mirando la diferencia entre los cuadrados de los valores, obtenemos: 3, 5, 7, 9, etc...

La diferencia entre uno (entero) plaza para la próxima se incrementa en un 2 sin culpa (supongamos).

¿Por qué es eso? ¿Por qué existe ese patrón de aumentos por 2? ¿A qué se debe? ¿Cuál es el origen de la misma?

Puedo "ver" ajustar visualmente como la construcción de una plaza y me han llamado subdivide cuadrados dentro de los cuadrados para ver el patrón de desarrollarse, pero simplemente no entiendo cómo explicar que aumentan en un 2; I no se puede rastrear , esencialmente.

Answer 1

Visual de la intuición.... El interior de la región azul incrementa el cuadrado gris por uno, pero para hacer el siguiente incremento usted necesita el extra de color amarillo de la unidad plazas para llegar a la siguiente plaza.

Answer 2

Tenemos la serie $$ x_n = n^2 $$ y las diferencias $$ \Delta x_n = x_{n+1} - x_n = (n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1 $$ y la diferencia de las diferencias $$ \Delta x_{n+1} - \Delta x_n = (2(n+1)+1) - (2n+1) = 2n + 3 - 2n - 1 = 2 $$

Answer 3

La diferencia entre los dos adyacentes plazas, $(a+1)^2$$a^2$:

$$\begin{align} (a+1)^2 - a^2 &= a^2 + 2a + 1 - a^2 \\ &= 2a + 1 \end{align}$$

Así, para cada incremento en el $a$$1$, la diferencia entre los cuadrados consigue $2$ más grande.

Answer 4

Sugerencia: $(a+1)^2-a^2=a^2+2a+1-a^2=2a+1$

Answer 5

Deje $a$ ser algún número natural, y, a continuación, vamos a pensar acerca de $a+1$.
Desde $a^2 = a \cdot a$,$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$.

A continuación,$(a+1)^2 - a^2 = 2a + 1$.

Y, a continuación, la nota de los números de $1,2,3,\ldots$ aplicación $2a+1$ da $2\cdot 1 + 1, 2 \cdot 2 + 1, 3 \cdot 2 + 1,\ldots$ Que es: $$3,5,7,9,\ldots$$