Encontrar el límite $\lim_{n \to +\infty}\sum\limits_{k=n}^{3n} \binom{k-1}{n-1} \left(\frac{1}{3}\right)^n \left(\frac{2}{3}\right)^{k-n}$

Question

El problema es encontrar el límite siguiente:

$$\lim_{n \to +\infty}\sum\limits_{k=n}^{3n} \binom{k-1}{n-1} \left(\dfrac{1}{3}\right)^n \left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-n}$$

Veo que parece similar a la fórmula del teorema del binomio, pero no se como podemos hacer uso de ella.

Cualquier idea sería muy apreciada.

Answer 1

La suma de todos los números enteros es $$ \begin{align} \sum_{k=n}^\infty\binom{k-1}{n-1}\left(\frac13\right)^n\left(\frac23\right)^{k-n} &=\left(\frac13\right)^n\sum_{k=n}^\infty(-1)^{k-n}\binom{-n}{k-n}\left(\frac23\right)^{k-n}\\ &=\left(\frac13\right)^n\sum_{k=0}^\infty\binom{-n}{k}\left(-\frac23\right)^k\\ &=\left(\frac13\right)^n\left(\frac13\right)^{-n}\\[9pt] &=1\tag{1} \end{align} $$ Además, $$ \frac{\binom{k}{n-1}\left(\frac13\right)^n\left(\frac23\right)^{k-n+1}}{\binom{k-1}{n-1}\left(\frac13\right)^n\left(\frac23\right)^{k-n}}=\frac23\frac{k}{k-n+1}\tag{2} $$ que es $1$ al $k\approx3n$. Es decir, el sumando es máxima cerca de $k\approx3n$. Por el método de Laplace, la suma de la máxima tiende a la mitad de la suma total, por lo que tenemos que $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to\infty}\sum_{k=n}^{3n}\binom{k-1}{n-1}\left(\frac13\right)^n\left(\frac23\right)^{k-n}=\frac12}\tag{3} $$

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Aplicación de Laplace del Método

Vamos $$ f_n(k)=\binom{k-1}{n-1}\left(\frac13\right)^n\left(\frac23\right)^{k-n}\etiqueta{4} $$ De $(3)$, podemos deducir que para $k-3n=O\!\left(\sqrt{n}\right)$, $$ \begin{align} \log(f_n(k+1))-\log(f_n(k)) &=\log\left(\frac23\frac{k}{k-n+1}\right)\\ &=\log\left(\frac{1+\frac{k-3n}{3n}}{1+\frac1{6n}+\frac{k-3n}{2n}}\right)\\ &=\log\left(1-\frac{k-3n}{6n}\right)+O\!\left(\frac1n\right)\\ &=-\frac{k-3n}{6n}+O\!\left(\frac1n\right)\tag{5} \end{align} $$ De $(5)$, obtenemos que $$ f_n(k)=c\,e^{-\frac{(k-3n)^2}{12n}+O\left(\frac1{\sqrt{n}}\right)}\etiqueta{6} $$ Ya que la suma de todos los $k$$f_n(k)$$1$, obtenemos $$ f_n(k)=\frac1{\sqrt{12\pi n}}\,e^{-\frac{(k-3n)^2}{12n}}+O\!\a la izquierda(\frac1n\right)\etiqueta{7} $$ Desde $(7)$ es simétrico con respecto al $k=3n$, la suma de $k\lt3n$ será aproximadamente la misma que la suma de $k\gt3n$. Por lo tanto, la suma de $k\lt3n$ será aproximadamente de $\frac12$.