Refinación de mi conocimiento de que el número imaginario

Question

Así que me voy a mitad de camino a través de análisis complejo (utilizando Churchill amd Marrón del libro) ahora. Comencé a pensar en algo más acerca de la naturaleza y el comportamiento de $i$ y se topó con algo de confusión. He visto la definición de $i$ en dos formas diferentes;$i = \sqrt{-1} $$i^2 = -1$. Ahora sé que estas dos afirmaciones no son equivalentes, así que estoy confundido en cuanto a qué es la "correcta" de la definición. Veo con bastante frecuencia que la primera forma es un error común, pero, de nuevo Wolfram Matemáticas del Mundo dice lo contrario. Así que mis preguntas son:

1. ¿Qué es el "correcto" definición de $i$, y por qué? O son ambas definiciones correctas y usted puede ver la primera de ellas como una entidad de la rama?

2. Parece que si estamos tratando $i$ el número con la propiedad $i^2 = -1$, se supone que estamos tratando $i$ como un concepto y no necesariamente como una "cantidad"?

3. Si estamos, de hecho, el tratamiento de la $i$ como un concepto más que una "cantidad", ¿cómo serían las cosas como $i^i$ y otras ecuaciones o expresiones que involucran $i$ ser visto? ¿Cómo sería esta ecuación tiene valor si tratamos $i$ como un concepto?

He comprobado todo en los diversos imaginarios número de publicaciones en este sitio, así que por favor, no marque esta como un duplicado. Mis preguntas son diferentes de aquellos que ya han sido hechas.

Answer 1

La definición de número complejo se da en la página 1 de Churchill y Marrón del libro:

Los números complejos pueden ser definidos como los pares ordenados $(x, y)$ de los números reales...

La definición de $i$ es dada en la página 2:

...vamos a $i$ denotar el imaginario puro número $(0,1)$...

Para responder a su pregunta, $i$ no está definido por la ecuación de $i=\sqrt{-1}$, ni es definido por la ecuación $i^2=-1$. En su lugar, se define como un par ordenado de números reales, $i=(0,1)$. Entonces, dada la definición de complejo de multiplicación, una prueba que $i^2=-1$.

Answer 2

1. Como usted probablemente sabe, hay dos soluciones a $x^2+1=0$. Nos arbitrariamente llamar a uno de ellos $i$ y el otro $-i$, pero esta elección se podría haber hecho de otra manera (que es la razón por la compleja conjugación es un automorphism de $\mathbb C$). Así, ambas definiciones son esencialmente correcta, pero, por supuesto, el primero es un poco menos correcta.

2. ¿Cuál es la diferencia entre un "concepto" y una "cantidad"? Esta parece ser una cuestión más filosófica que la matemática...

3. Bien, $i^i$ es generalmente definido como $e^{i\log i}$ donde $e^{a+bi}=e^a(\cos b+i\sin b)$ $\log(re^{i\theta})=\ln r+i(\theta+2n\pi)$ donde $n$ es cualquier número entero (el logaritmo es una función de varios valores desde la función exponencial no es inyectiva)

Answer 3

es fácil llegar a los cautivos de nuestras ideas preconcebidas. si ha perfeccionado una forma muy eficiente de la máquina, $\sqrt{}$ para la extracción de las raíces cuadradas de los números reales positivos que será, justamente, frota su cabeza en confusión si se le pregunta a operar en $-1$. pero en lugar de centrarse en la génesis de la $i$, celebrar las vistas que se abre, con su salto cuántico a través de la señal de la barrera que limita la aritmética de los números reales. que una propiedad mágica $i^2=-1$ tiene consecuencias de largo alcance.

tomemos, por ejemplo, cómo $i$ interactúa con otra muy básico matemática de la realidad - de las funciones circulares y sus notables propiedades combinatorias. se puede demostrar sobre la base de la geometría que: $$ \def\c{\cos}\def\s{\pecado} \c(x+y)=\c(x)\c(y)-\s(x)\s(y) $$ y $$ \s(x+y)=\s(x)\c(y)+\s(y)\c(x) $$ el uso de estas identidades es fácil dar una inductivo prueba de que para cualquier entero $n \ge 0$ tenemos: $$ (\c(x) + i \s(x))^n = \c(nx) + i \s(nx) $$ este es extender fácilmente a la racional valores de $n$ e Lo! de repente usted tiene la familia infinita de raíces de la unidad a su disposición. quiero un número cuyo quinto poder es $1$? bueno, siempre se puede tener $1$! pero ahora también hay $e^{\frac{2 \pi i}{5}},e^{\frac{4 \pi i}{5}},e^{\frac{6 \pi i}{5}}$$e^{\frac{8 \pi i}{5}}$. por supuesto, para ganar el derecho a la describen como exponenciales tienes que conectar $x=i\theta$ en el McLaurin de expansión para $e^x$ a ver cómo esto da lugar a la identidad: $$ e^{i\theta}=\cos\theta +\sin\theta $$ en definitiva, aprender a trabajar con $i$, disfrutar de ella! por supuesto, usted puede explorar las diversas polvo definiciones, sino $i$ es un número especial que realmente no se puede asimilar a cualquier modo anterior de pensamiento matemático. mira las transformaciones que ha forjado en la física durante los últimos 150 años.

Answer 4

Me gustaría añadir un poco a Chris Culter excelente respuesta. Es posible que hay más de una posible definición correcta para $i$. La definición de Chris Culter citado de su libro es uno de esos. Uno podría preguntarse si las definiciones que se indican son también correctas. La respuesta es que ninguno de los dos es.

La expresión "$\sqrt x$" se define como la única no-número real negativo $y$ tal que $y^2 = x$. Esta es una buena definición al $x$ es un no número real negativo, pero es totalmente sin sentido para otros valores de $x$, porque para $x = -1$, dicen, no hay no-número real negativo $y$ tal que $y^2 = -1$. De modo que un intento para definir $i$ diciendo $i=\sqrt{-1}$ es inmediata fracaso; no hay tal cosa. El $\sqrt{}$ operador simplemente no lo hace.

Va para otro lado, no se puede definir $i$ simplemente diciendo que $i^2=-1$; que no es una definición. Se describen las propiedades que queremos que $i$, pero no describe ningún objeto que realmente tiene esas propiedades, y no puede ser en realidad una. Es muy fácil armar una lista de propiedades que no es poseído por cualquier objeto. Por ejemplo, "el más grande invisible púrpura del búfalo de agua en Dubuque, Iowa" es una descripción de ese tipo; puede describir sus propiedades, pero no hay tal cosa. O de nuevo, una reciente pregunta aquí pidió el volumen de un poliedro cuyas caras son cinco triángulos equiláteros. Pero no hay tal poliedro: cada poliedro con sólo caras triangulares tiene incluso varios de ellos.

Tenemos una idea de un número$i$$i^2=-1$, pero con el fin de mostrar que esta idea es coherente, se debe construir algo que se comporta de esa manera. Una forma para hacer esto es la construcción en su libro:

1. Tomamos el conjunto de pares de números reales $\langle a,b\rangle$
2. Definir la suma y la multiplicación de las operaciones en ellos
3. Mostrar que estas operaciones tienen las propiedades que uno normalmente espera, como la $a\cdot(b+c) = (a\cdot b ) + (a\cdot c)$.
4. Mostrar que la estructura resultante contiene una adecuada subestructura, es decir, el conjunto de elementos de la forma $\langle a, 0\rangle$, que se comporta como los números reales, por lo que podemos identificar esta subestructura como los números reales, y el elemento $\langle -1, 0\rangle$ es efectivamente el mismo que el número real $-1$
5. Muestran que esta estructura contiene un elemento, a saber, $i=\langle 0, 1\rangle$ (o $i=\langle 0,-1\rangle$ si usted lo prefiere), que tiene la propiedad de que $i\cdot i = -1$.

Esta no es la única forma de definir a $i$; hay muchas estructuras que se podría inventar que se comportan de la manera en que queremos que los números complejos se comportan. En álgebra avanzada cursos, uno usa la misma estrategia en el párrafo anterior, pero una de las construcciones de los números complejos como clases de polinomios en lugar de como pares ordenados:

1. Dividir los polinomios en ciertas clases.
2. Definir la suma y la multiplicación de estas clases
3. Demostrar que estas operaciones tienen la costumbre de propiedades
4. Mostrar que algunas de las clases que se comportan de la misma manera que los números reales se comportan, y, en particular, que existe una clase de $[-1]$ que se corresponde con el número real $-1$
5. Mostrar que hay una cierta clase de $[x]$ que tiene la propiedad de que $[x]\cdot[x] = [-1]$.

Así que hay más de una posible definición, pero ni una de las sugerencias que usted le dio es suficiente como para hacerlo. Vladimirm la respuesta en otro lugar en este hilo nos muestra otra forma de definir a $i$, de nuevo siguiendo la misma estrategia básica.

Answer 5

Usted podría pensar de los números complejos como especiales, transformaciones lineales, de la forma $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}$ donde esta matriz representa el número complejo a $z = a + ib$, una transformación entre los puntos en $\mathbb{R}^2$. Esta matriz representa una rotación y escala uniforme de transformación, donde primero girar su punto y, a continuación, modificar la escala. Esta tal vez puede ser mejor observados a partir de la exponencial de la representación, si $z = re^\theta$, entonces la corepsonding matriz de transformación sería

$$ \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r & 0 \\ 0 & r\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r\cos(\theta) & -r\sin(\theta) \\ r\sin(\theta) & r\cos(\theta)\end{bmatrix} $$

Multiplicar dos números complejos mediante la multiplicación de sus coresponding matrices y multiplicación de matrices de esta forma es comutative. A continuación, $0,1$ $i$ se definen

$$ 0 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} \\ 1 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \\ i = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\1 & 0\end{bmatrix} $$

Como se puede ver cuando los números complejos se definen de esta manera no hay nada místico en el número de $i$. Es sólo otra transformación, $90^{\circ}$ rotación en sentido antihorario.

EDITAR

También esta forma de pensar acerca de los números complejos intuitivamente explica por qué el Cauchy-Riemann ecuaciones deben poseer para funciones diferenciables.

Una función compleja $f(z) = v(x,y) + iu(x,y)$ puede considerarse como un simple $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ transformación (de "xy" coordinación de sys. "uv" ). Así que la mejor aproximación lineal de la función de $f$ cerca del punto de $z = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ (si la función es derivable en z) es el Jacobiano de la matriz $\begin{bmatrix} u_x & v_y \\ u_y & v_y \end{bmatrix}$ que es una generalización de la derivada en más de una dimensión. $$f(z + \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix}) \approx f(z) + \begin{bmatrix} u_x & v_y \\ u_y & v_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Delta x \\ \Delta y \end{bmatrix}$$

Pero debido a que $f$ es una función compleja, la diferenciabilidad en $z$ significa

$$f( z + \Delta z ) = f(z) + f'(z)\Delta z +o(\Delta z)$$

Donde $\Delta z = \Delta x + i\Delta y$. Esto significa que la función es lineal cerca de $z$ ($\Delta z \to 0$), y por lo tanto

$$f( z + \Delta z ) \approx f(z) + f'(z)\Delta z$$

donde $f'(z)$ es un número complejo que cuando representados por una transformación lineal es de hecho el Jacobiano de esta función. Pero debido a que todos los números complejos son especiales transformaciones lineales de la forma $\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}$ la de Cauchy-Riemann ecuaciones seguir, $u_x = v_y, v_x = -u_y$.