Demostrar eso si $(x+y)^2 \equiv 0 \pmod{xy}$, entonces el $x = y$

Question

Que $x,y$ ser enteros. Demostrar eso si $(x+y)^2 \equiv 0 \pmod{xy}$, entonces el $x = \pm y$.

La condición dada es equivalente a $x^2+y^2 \equiv 0 \pmod{xy}$. ¿Cómo seguimos de aquí a demostrar que $x = \pm y$?

Answer 1

Deje que la brecha de #% $ $$ x^2 + y^2 = kxy $ $ de $$ x^2 - k xy + y^2 = 0. $$y^2,$$r = x/y.$% #% $Discriminant $$ r^2 - kr + 1 = 0 $ $Thi no es un cuadrado si no $$ k^2 - 4. $

Answer 2

$$x^2 + y^2 = kxy$$

Que $d =gcd(x,y)$. Entonces $x=da, y=db$ $a,b$ relativamente privilegiada.

La ecuación se convierte en $$a^2+b^2=kab $ $ % MCD $(a,b)=1$. Esto implica $a=\pm 1$ y $b=\pm1$. De hecho, si % no son $a$o $b$ $\pm1$, entonces el $a$ o $b$ es divisible por un % primer $p$. Entonces el primer $p$ también divide $kab$ y por lo tanto divide $a$ y $b$.

Answer 3

Que $p$ sea un principal, escriba $x=p^au, y=p^bv$ donde son relativamente privilegiada con $u,v$ $p$. $xy=p^{a+b}uv$. Supongamos que disponemos de $a<b$ si divide a $xy$ $x^2+y^2=p^{2a}u^2+p^{2b}v^2$, ${{p^{2a}u^2+p^{2b}v^2}\over{p^{a+b}}}$ es un entero. Esto implica que el $p^{a+b}$ $p^{2a}u^2$ de divide. Esto es imposible. Deducimos que el $a\geq b$ y $b\geq a$. Esto implica que el $x=y$ o $x=-y$.