¿Hay igual número de números positivos y negativos?

Question

Para cada número positivo existe un número negativo correspondiente. ¿Implica esto que el número de números positivos es "igual" al número de números negativos? (¿Son incomparables porque ambos se acercan al infinito?)

Answer 1

Si hay ALGUNA función que da una biyección entre dos conjuntos, entonces estos dos conjuntos se consideran igual de grandes. (Incluso si hay alguna otra función entre esos dos conjuntos que no es onto/no 1-1). Por ejemplo, el conjunto de los múltiplos de 10 entre los enteros positivos, que es un subconjunto propio de todos los enteros positivos, parece ser "más pequeño". Pero tenemos una función $f(x)=10x$ proporcionando biyección, por lo que se considera que tienen el mismo tamaño (cardinalidad). En su caso $g(x)=-x$ proporciona la biyección.

Answer 2

Sí, la existencia de un mapeo uno-a-uno y sobre es exactamente cómo se define la igualdad del tamaño de los conjuntos (el término técnico es "cardinalidad". El número (cardinal) de enteros negativos es el mismo que el número cardinal de enteros positivos, y el número cardinal de números reales negativos es el mismo que el número cardinal de números reales positivos.

Nótese, sin embargo, que hay más números reales positivos que enteros positivos, por lo que no todas las cardinalidades infinitas son iguales. La prueba de este hecho se realiza mediante la famosa prueba diagonal de Cantor.

Answer 3

La palabra "infinito" se utiliza en muchos lugares de las matemáticas y las definiciones no son necesariamente las mismas. Se utilizan diferentes símbolos, pero sigue habiendo más definiciones que símbolos.

El símbolo más conocido del infinito, $\infty$ se utiliza comúnmente en el cálculo, pero es más una abreviatura sugestiva que un infinito real. Normalmente no se utiliza cuando se habla de tamaños de conjuntos.

Cuando se habla del tamaño de los conjuntos, el término cardinalidad es habitual. Está claro que el recuento normal no funciona para conjuntos infinitos. Sin embargo, como han dicho otros, es posible decir si dos conjuntos tienen la misma cardinalidad / son del mismo tamaño . Si existe una biyección (uno a uno y sobre mapa) entre ellos, entonces tienen la misma cardinalidad. Una propiedad contraria a la intuición de los conjuntos infinitos es que es posible que exista un mapa que sea uno a uno y no onto, así como uno que sea uno a uno y onto. Así, la existencia de un mapa que es uno a uno pero no onto no demuestra que un conjunto sea más pequeño. Para ello, habría que demostrar también que no existe ningún otro mapa que sea uno a uno y onto. El ejemplo más sencillo es el conjunto de todos los números naturales y sólo los pares. Intuitivamente, el conjunto de los números pares es más pequeño y existe un mapa obvio desde los números naturales pares a un subconjunto de los números naturales. Sin embargo, también hay un mapa entre ellos que es uno a uno y, por tanto, tienen la misma cardinalidad.

Por definición, un conjunto que tiene un mapa uno a uno y sobre los números naturales se llama "contable". No es contable en el sentido cotidiano, pero sí significa que podrías nombrar uno por segundo y (*), aunque no terminarías nunca, nombrarías alguno en particular en un tiempo finito.

(*) Suponiendo que usted y el universo fueran inmortales.

Muchos conjuntos de tamaños intuitivamente diferentes son contables, por ejemplo los enteros $\Bbb{Z}$ los números racionales $\Bbb{Q}$ y los números algebraicos $\Bbb{A}$ . Esta cardinalidad / tamaño se denomina contable y el símbolo $\aleph_0$ se utiliza. Esto se llama "aleph null", "aleph naught" o "aleph zero". Aleph es la primera letra del alfabeto hebreo.

Sin embargo, aunque muchos conjuntos intuitivamente mayores resultan ser del mismo tamaño, existen conjuntos mayores. Se puede demostrar que no existe un mapa uno a uno y uno de los números naturales al conjunto de los números reales $\Bbb{R}$ para que sea más grande. De nuevo, algunos conjuntos aparentemente más grandes no lo son en realidad. Por ejemplo $\Bbb{C}$ , $\Bbb{R^2}$ y $\Bbb{R^3}$ son de la misma cardinalidad que $\Bbb{R}$ .

Existen conjuntos aún mayores, el conjunto de todos los subconjuntos de $\Bbb{R}$ es mayor que $\Bbb{R}$ . No hay un conjunto más grande.

Una cuestión especialmente interesante es si $\Bbb{R}$ es la siguiente cardinalidad más grande después de la infinidad contable de $\Bbb{N}$ . Esto se llama la "Hipótesis del Continuo". Mi respuesta ya es suficientemente larga, así que no hablaré de ello, pero si te interesa este tema, deberías buscarlo.

Por último, existe otro tipo de infinito denominado "números ordinales". En este sentido, el primer infinito se suele escribir como $\omega$ y, a diferencia de los infinitos cardinales, $\omega + 1$ es diferente.

Answer 4

La noción de "recuento" se precisa en matemáticas mediante el uso de funciones. Estas funciones son biyecciones . Para "contar" los elementos de un conjunto $X$ se establece una biyección desde $X$ a un subconjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ .

Ejemplo. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto $\{a, b, c\}$ ¿tiene? La respuesta es 3, porque existe una biyección desde $\{a, b, c\}$ a $\{0, 1, 2\}$ . (En realidad, existe $3!$ biyecciones).

Así, ciertos subconjuntos de $\mathbb{N}$ son, de alguna manera, "varas de medir", con las que puedes calibrar el tamaño de otros conjuntos.

El uso de conjuntos y funciones permite generalizar la idea de "contar" a conjuntos infinitos. Las "varas de medir" se convierten entonces en números transfinitos (más exactamente, números cardinales ).

Para responder a su pregunta, hay es un número igual de números positivos y negativos, porque existe una biyección entre estos dos conjuntos. Si por "número" se entiende "entero", entonces este número se llama aleph null . Es el cardenal infinito más pequeño.

Bono : Usando estas ideas, puedes demostrar que la "cantidad" de (digamos) enteros positivos y la "cantidad" de enteros es la misma, o que la "cantidad" de enteros pares y la "cantidad" de números primos es la misma.

Answer 5

Hay exactamente los mismos.

Por cada número positivo hay uno y sólo uno negativo,

Y por cada número negativo hay uno y sólo uno positivo,

Para que ambos conjuntos tengan el mismo cardinal.

Existe una función biyectiva del conjunto de números positivos al conjunto de números negativos.