¿Qué determina el ángulo del cojín de una mesa de billar?

Question

Si observas los cojines (parachoques) de una mesa de billar, verás que no son verticales. Están inclinados hacia dentro. Hace unos 10 años, me encontré con un examen de física en el que uno de los problemas planteaba una serie de supuestos físicos y luego se pedía al examinando que determinara el ángulo óptimo para que, si una bola rodaba sin resbalar al chocar con el cojín, rebotara de forma que volviera a rodar sin resbalar. La implicación parecía ser que ese era el ángulo utilizado en las mesas de billar reales.

No tuve acceso a la solución del propio examinador, y cuando analicé el problema yo mismo Me di cuenta de que no podía reproducir los ángulos reales que se encuentran en las mesas de billar. Parece que se ha especulado con que, en algún lugar de la noche de los tiempos, alguien fijó el ángulo empíricamente maximizando la distancia de rebote para las bolas que inciden a lo largo de la normal, y que este ángulo se explicaba bien por este tipo de cálculo. De hecho, un vídeo de alta velocidad (Mathaven 2009) muestra que en el snooker, una bola que golpea un cojín a lo largo de la normal no lo hace rebote rodando sin resbalar; resbala durante aproximadamente 0,1 s antes de que el par de torsión debido a la fricción cinética lo lleve al estado de no resbalar. (No creo que la situación física sea muy diferente entre el billar y el snooker).

Algunos datos. Sea $r$ sea el radio de una bola de billar, y que el ángulo del cojín sea tal que el punto de contacto entre la bola y el cojín esté por encima del centro de la bola en una altura $b$ . Las mesas de billar reales tienen $b/r\approx 0.26$ . En el snooker, el coeficiente de fricción cinética, medido por Mathaven, es $\mu_k \approx .18-.24$ y la deceleración debida a la resistencia a la rodadura es de aproximadamente $a/g\approx 0.0127-0.0129$ .

Mi pregunta: ¿Hay alguna explicación física para el ángulo de los cojines en una mesa de billar? No parece ser óptimo para la incidencia normal, pero ¿es posible que esté optimizado en el sentido de una media sobre todos los posibles ángulos de incidencia? ¿Existen modelos y posiblemente simulaciones informáticas lo suficientemente sofisticadas como para abordar este tipo de cuestiones?

Mathaven, S., et al., "Application of high-speed imaging to determine the dynamics of billiards" (Aplicación de imágenes de alta velocidad para determinar la dinámica del billar), American Journal of Physics Vol. 77, No. 9, pp. 788-794, 2009. http://billiards.colostate.edu/physics/ajp_09_hsv_article.pdf

Answer 1

Si los parachoques fueran verticales, el punto de contacto estaría en el centro y como la gravedad es mayor que la fuerza de rebote, significa que no habrá suficiente fricción para cambiar la rotación de la pelota cuando la dirección de la misma cambie. Si el punto de contacto está más arriba, entonces la fuerza de contacto está hacia el centro de la pelota, y por lo tanto está empujando la pelota hacia la mesa aumentando la fricción permitiendo que la rotación cambie como es necesario para un buen rebote.

Hice algunos cálculos rápidos con colisiones inelásticas y esto es lo que encontré:

1. El momento de inercia de la masa de una bola sólida es $I=\frac{2}{5}m r^2$
2. El impulso de contacto es $$ J = (\epsilon+1) \frac{\frac{3}{5} m \omega r}{\sqrt{ \frac{h}{r} \left( 2 - \frac{h}{r} \right)}} $$ donde $h$ es la altura sobre el suelo a la que se encuentra la punta del parachoques y $r$ es el radio de la bola. $v=\omega\,r$ es la velocidad lineal de la pelota antes del impacto y $\epsilon = 0 \ldots 1$ es el coeficiente de restitución.
3. El impulso de fricción necesario para invertir la rotación de la bola es $$ R =(\epsilon+1) \frac{2}{5} m \omega r $$
4. El impulso vertical de la mesa es $$ N =(\epsilon+1) \frac{ \frac{3}{5} m \omega r \left(\frac{h}{r}-1\right)}{\sqrt{\frac{h}{r} \left( 2 - \frac{h}{r} \right) }}$$
5. El coeficiente de fricción mínimo necesario para invertir la rotación es $$ \mu \gt \sqrt{\frac{4}{9} \left(\frac{1}{\left(\frac{h}{r}-1\right)^2} -1\right)} $$

Así que si los parachoques son causa de que el punto de contacto esté en el centro de la esfera con $h=r$ entonces $\mu \gt \infty$ que es imposible. Un valor más típico de $\mu$ requiere que la altura sea superior a $$ \boxed{ h \gt r \left(1 + \sqrt{ \frac{1}{1+ \frac{9}{4} \mu^2} } \right) } \\ \mu = 0.5 \\ h \gt r \left(1 + \frac{4}{5}\right) = \frac{9}{5} r $$

Por otro lado, cuanto más alto $h$ es entonces las fuerzas implicadas aumentan como $J$ se hace más grande y, por tanto, las pérdidas potenciales y las no linealidades se vuelven dominantes. Así que el truco está en encontrar la menor altura posible $h$ para la fricción superficial $\mu$ .