Como j___d no, voy a intentar demostrar que $f(\frac pq) = \frac{p}{p+q}$ por la fuerte inducción en $p+q$, empezando con el caso base $p+q=2$ donde $f(\frac11) = \frac12$.
Supongamos ahora que $f(\frac{p}{q}) = \frac{p}{p+q}$ tiene al $p+q<k$, y considerar las fracciones $\frac pq$$p+q=k$.
Siempre que $p<q$,$f(\frac{p}{q-p}) = \frac pq$, lo $2f(f(\frac{p}{q-p})) = 2f(\frac pq)$, y por la segunda identidad, esto implica que $f(\frac{2p}{q-p}) = 2f(\frac pq)$. Siempre que $p>q$, por supuesto, tenemos $f(\frac qp) = 1 - f(\frac pq)$ por la identidad de la primera.
De cualquier manera, esto nos da la $f(\frac{p'}{q'})$ diferentes $\frac{p'}{q'}$$p'+q'=p+q$, en términos de $f(\frac pq)$.
Ahora repetimos el proceso siguiente. Empezar con $f(\frac1{k-1}) = x$, y deje $\frac pq = \frac1{k-1}$. Luego repetidamente aplicar una de las identidades $$f\left(\frac{2p}{q-p}\right) = 2f\left(\frac pq\right) \qquad \text{or} \qquad f\left(\frac qp\right) = 1 - f\left(\frac pq\right)$$ (preferentially the first) to get a different value $f(\frac{p}{q'})$ in terms of $f(\frac{p}{q})$ and therefore in terms of $x$. Set $\frac pq = \frac{p}{q'}$ and repeat. An example for $k=11$:
\begin{array}{cccccccccc}
f(\frac{1}{10}) & f(\frac{2}{9}) & f(\frac{3}{8}) & f(\frac{4}{7}) & f(\frac{5}{6}) & f(\frac{6}{5}) & f(\frac{7}{4}) & f(\frac{8}{3}) & f(\frac{9}{2}) & f(\frac{10}{1}) \\
x & 2x & 1-8x & 4x & 16x-1 & 2-16x & & 8x & & 32x-2
\end{array}
Debido a que hay un número finito de valores, vamos a acabar el bucle de nuevo a un valor ya hemos visto, la obtención de un segundo la expresión en términos de $x$. Que la expresión será diferente de los primeros, debido a que el coeficiente de $x$ se duplica con cada paso de izquierda a derecha en la tabla de arriba. (En este caso, obtendremos $f(\frac1{10}) = 3 - 32x$, lo $x = 3 - 32x$.)
Por lo que podemos resolver por $x$ y obtener algún valor de $f(\frac{1}{k-1})$, así como todos los otros valores que hemos encontrado. Si hay valores en la tabla no hemos rellenado, sin embargo, podemos iniciar este proceso de nuevo de los valores, parando cuando nos dan dos expresiones para el mismo valor desconocido, o una expresión de un valor que ya hemos resuelto.
(Por cierto, si $k$ no es primo, entonces vamos a tener algunas fracciones de $\frac pq$ $p+q=k$ que puede ser simplificado, por lo que ya sabemos sus valores. En algunos casos, esto nos permite tomar un atajo desde el principio: por ejemplo, esto ocurrirá siempre que $k$ es aún).
Finalmente, podemos llenar toda la tabla. Esto nos dice que hay una solución única para todos los $f(\frac pq)$$p+q=k$. Pero sabemos que $f(\frac pq) = \frac{p}{p+q}$ es consistente con la ecuación funcional, por lo que si tenemos alguna solución única, que debe ser lo que nos dieron.
Por inducción en $p+q$, $f(\frac pq) = \frac{p}{p+q}$ todos los $p, q \ge 1$.
