Continuidad de un proceso estocástico

Question

Ejercicio 3.11 del libro de Oksendal "SDEs: an intorduction with applications".

Dejemos que $W_t$ sea un proceso estocástico que satisfaga

1) ${W_t}$ es estacionario;

2) $t_1\not=t_2\implies W_{t_1}$ y $W_{t_2}$ son independientes;

3) $E[W_t]=0$ $\forall t$ .

Cómo demostrar que $W_t$ no puede tener trayectorias continuas considerando $E[(W^{(N)}_t-W^{(N)}_s)^2]$ donde $W^{(N)}_t=(-N)\vee(N\wedge W_t)$ ?

No sé ni por dónde empezar. Está claro que tenemos que $|W^{(N)}_t|\le N$ ¿así que tal vez debería usar la convergencia acotada?

Answer 1

Si las trayectorias son continuas, entonces, para un $t$ , usted tiene $(W_s^{(N)} -W_t^{(N)})^2 \to 0$ cuando $s\to t$ y, por convergencia dominada, la expectativa va a cero cuando $s\to t$ para cada $N$ . Por otro lado, $E((W_s^{(N)} -W_t^{(N)})^2)= Var(W_s^{(N)}) +Var(W_t^{(N)}) \ge Var(W_t^{(N)})$ que, si $W_t$ no es degenerado, está acotado a partir de cero cuando $N$ es lo suficientemente grande. Por lo tanto, si los caminos son continuos y la condición 2) se mantiene, entonces cada $W_t$ es degenerado. Entonces la condición 3) implica que $W_t=0$ casi con toda seguridad, para cada $t$ (que sí satisface todas las condiciones). La condición 1) es superfetatoria.