¿Si $p$ es un polinomio, es cierto que $p(A)$ está abierto para cada abierto $A\subseteq\Bbb C$?
No sé cómo abordar esto. Estoy bastante seguro de que son mapas cerrados, sin embargo.
Respuestas
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Aquí es una prueba directa que no requiere de complejos análisis más allá del teorema fundamental del álgebra. Supongamos $p(z)$ es un polinomio de grado $d>0$, $U\subseteq\mathbb{C}$ es abierto, y $p(U)$ no está abierto. A continuación, hay algunos $a\in U$ tal que $p(a)$ no está en el interior de $p(U)$. Deje $(w_n)$ ser una secuencia tal que $w_n\to p(a)$ $w_n\not\in p(U)$ por cada $n$. Para cada una de las $n$, vamos a $z_{n,1},\dots,z_{n,d}$ $d$ raíces del polinomio $p(z)-w_n$, en un cierto orden. Tenga en cuenta que el conjunto de $\{w_n\}$ es acotado, y $p(z)\to \infty$$z\to\infty$; de ello se sigue que el conjunto de $\{z_{n,k}\}$ es también limitada. Por Bolzano-Weierstrass, por lo tanto, podemos reemplazar$(w_n)$, con una larga tal que las secuencias de $(z_{n,1}),(z_{n,2}),\dots,(z_{n,d})$ todos convergen; escribir $b_k=\lim z_{n,k}$. Desde $w_n\not\in p(U)$ para todos los $n$, $z_{n,k}\not\in U$ para todos los $n$$k$, y, por tanto, $b_k\not\in U$ todos los $k$ desde $U$ está abierto.
Sin embargo, afirmo que el $b_k$ son exactamente las raíces de $p(z)-p(a)$. De hecho, para cada una de las $n$, $p(z)-w_n=c\prod_{k=1}^d (z-z_{n,k})$ donde $c$ es el coeficiente de $z^d$$p(z)$. Tomando el límite cuando $n\to\infty$, nos encontramos con que $p(z)-p(a)=c\prod_{k=1}^d (z-b_k)$. En particular, esto significa que una de las $b_k$ debe ser igual a $a$. Desde $b_k\not\in U$$a\in U$, esto es una contradicción.
Jukka Dahlbom
Puntos
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La respuesta es sí, como el polinomio no es constante. Un resultado ligeramente más general que esto es el Teorema de abrir.
