Demostrar que:
No cuatro % enteros positivos $a, b, c$y $d$ $ab = 2d²$ pueden satisfacer la ecuación $a² + b² = c²$.
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Respuesta
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Si tal $a,b,c,d$ existía, el hecho de que $(a,b,c)$ es una de Pitágoras triplicar los rendimientos de los números enteros $u,v$ tal que $a=u^2-v^2,b=2uv$ (por ejemplo). Poner a $g={\sf gcd}(u,v)$$x=\frac{u}{g},y=\frac{v}{g}$, tenemos $a=g^2(x^2-y^2),b=2g^2xy$, por lo que el $2g^4xy(x^2-y^2)=ab=2d^2$. A continuación, $d'=\frac{d}{g^2}$ es un número entero y
$$ xy(x-y)(x+y)=(d')^2 \etiqueta{1} $$
Desde $x$ $y$ son coprime, son también coprime a $x-y$ y $x+y$ (los dos últimos no pueden ser coprime), por lo que ambas deben ser cuadrados. Escribir $x=p^2,y=q^2,d''=\frac{d'}{pq}$. A continuación, $p,q,d''$ son todos los números enteros y
$$ (p^2 + q^2)(p^2+q^2)=(d")^2 \etiqueta{2} $$
Esta es una bien conocida ecuación imposible, con un clásico a prueba de descenso infinito (ver Wikipedia)
